Theorem addsubassd 11640

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11677  mulsubdivbinom2  14301  hashun3  14423  swrdccatin2  14767  bpoly4  16095  gsumsgrpccat  18853  mndodconglem  19559  efgredleme  19761  psdmul  22170  ovollb2lem  25523  ply1divex  26176  tanarg  26661  affineequiv  26866  chordthmlem4  26878  heron  26881  dquartlem2  26895  quart  26904  bposlem9  27336  2lgslem3b  27441  2lgslem3c  27442  2lgslem3d  27443  dchrisum0re  27557  mulog2sumlem1  27578  selberglem2  27590  selberg4  27605  selbergr  27612  selberg3r  27613  selberg34r  27615  brbtwn2  28920  ax5seglem2  28944  wwlksnextwrd  29917  wwlksnextinj  29919  clwwlkccatlem  30008  ex-ind-dvds  30480  lt2addrd  32755  cycpmco2lem3  33148  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2  33153  archirngz  33196  constrrtll  33772  constrrtlc1  33773  constrrtcclem  33775  fibp1  34403  dnibndlem10  36488  bj-bary1lem  37311  lcmineqlem22  42051  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sumcubes  42347  3cubeslem2  42696  acongeq  42995  jm3.1lem2  43030  inductionexd  44168  fzisoeu  45312  sumnnodd  45645  stoweidlem26  46041  wallispilem4  46083  wallispi2lem1  46086  wallispi2lem2  46087  fourierdlem26  46148  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem48  46169  fourierdlem63  46184  fourierdlem107  46228  smfmullem1  46806  fmtnorec2lem  47529  fmtnorec3  47535  lighneallem3  47594  bgoldbtbndlem2  47793  m1modmmod  48442  itscnhlc0yqe  48680  2itscplem1  48699  2itscplem3  48701