Theorem addsubassd 11516

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11394	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11555  mulsubdivbinom2  14215  hashun3  14337  swrdccatin2  14682  bpoly4  16015  gsumsgrpccat  18799  mndodconglem  19507  efgredleme  19709  psdmul  22142  ovollb2lem  25465  ply1divex  26112  tanarg  26596  affineequiv  26800  chordthmlem4  26812  heron  26815  dquartlem2  26829  quart  26838  bposlem9  27269  2lgslem3b  27374  2lgslem3c  27375  2lgslem3d  27376  dchrisum0re  27490  mulog2sumlem1  27511  selberglem2  27523  selberg4  27538  selbergr  27545  selberg3r  27546  selberg34r  27548  brbtwn2  28988  ax5seglem2  29012  wwlksnextwrd  29980  wwlksnextinj  29982  clwwlkccatlem  30074  ex-ind-dvds  30546  lt2addrd  32838  cycpmco2lem3  33204  cycpmco2lem4  33205  cycpmco2lem5  33206  cycpmco2lem6  33207  cycpmco2  33209  archirngz  33265  constrrtll  33891  constrrtlc1  33892  constrrtcclem  33894  cos9thpiminplylem1  33942  fibp1  34561  dnibndlem10  36763  bj-bary1lem  37640  lcmineqlem22  42503  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  sumcubes  42759  3cubeslem2  43131  acongeq  43429  jm3.1lem2  43464  inductionexd  44600  fzisoeu  45751  sumnnodd  46078  stoweidlem26  46472  wallispilem4  46514  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  fourierdlem26  46579  fourierdlem41  46594  fourierdlem42  46595  fourierdlem48  46600  fourierdlem63  46615  fourierdlem107  46659  smfmullem1  47237  m1modmmod  47824  fmtnorec2lem  48017  fmtnorec3  48023  lighneallem3  48082  bgoldbtbndlem2  48294  itscnhlc0yqe  49247  2itscplem1  49266  2itscplem3  49268