Theorem addsubassd 11499

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11377	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   + caddc 11016   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11538  mulsubdivbinom2  14171  hashun3  14293  swrdccatin2  14638  bpoly4  15968  gsumsgrpccat  18750  mndodconglem  19455  efgredleme  19657  psdmul  22082  ovollb2lem  25417  ply1divex  26070  tanarg  26556  affineequiv  26761  chordthmlem4  26773  heron  26776  dquartlem2  26790  quart  26799  bposlem9  27231  2lgslem3b  27336  2lgslem3c  27337  2lgslem3d  27338  dchrisum0re  27452  mulog2sumlem1  27473  selberglem2  27485  selberg4  27500  selbergr  27507  selberg3r  27508  selberg34r  27510  brbtwn2  28885  ax5seglem2  28909  wwlksnextwrd  29877  wwlksnextinj  29879  clwwlkccatlem  29971  ex-ind-dvds  30443  lt2addrd  32738  cycpmco2lem3  33104  cycpmco2lem4  33105  cycpmco2lem5  33106  cycpmco2lem6  33107  cycpmco2  33109  archirngz  33165  constrrtll  33765  constrrtlc1  33766  constrrtcclem  33768  cos9thpiminplylem1  33816  fibp1  34435  dnibndlem10  36552  bj-bary1lem  37375  lcmineqlem22  42163  sticksstones10  42268  sticksstones12a  42270  sumcubes  42431  3cubeslem2  42802  acongeq  43100  jm3.1lem2  43135  inductionexd  44272  fzisoeu  45425  sumnnodd  45754  stoweidlem26  46148  wallispilem4  46190  wallispi2lem1  46193  wallispi2lem2  46194  fourierdlem26  46255  fourierdlem41  46270  fourierdlem42  46271  fourierdlem48  46276  fourierdlem63  46291  fourierdlem107  46335  smfmullem1  46913  m1modmmod  47482  fmtnorec2lem  47666  fmtnorec3  47672  lighneallem3  47731  bgoldbtbndlem2  47930  itscnhlc0yqe  48884  2itscplem1  48903  2itscplem3  48905