MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubassd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubassd 11533
Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addsubassd (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 addsubass 11412 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  assraddsubd  11570  mulsubdivbinom2  14163  hashun3  14285  swrdccatin2  14618  bpoly4  15943  gsumsgrpccat  18651  mndodconglem  19324  efgredleme  19526  ovollb2lem  24855  ply1divex  25504  tanarg  25977  affineequiv  26176  chordthmlem4  26188  heron  26191  dquartlem2  26205  quart  26214  bposlem9  26643  2lgslem3b  26748  2lgslem3c  26749  2lgslem3d  26750  dchrisum0re  26864  mulog2sumlem1  26885  selberglem2  26897  selberg4  26912  selbergr  26919  selberg3r  26920  selberg34r  26922  brbtwn2  27857  ax5seglem2  27881  wwlksnextwrd  28845  wwlksnextinj  28847  clwwlkccatlem  28936  ex-ind-dvds  29408  lt2addrd  31659  cycpmco2lem3  31980  cycpmco2lem4  31981  cycpmco2lem5  31982  cycpmco2lem6  31983  cycpmco2  31985  archirngz  32028  fibp1  33004  dnibndlem10  34953  bj-bary1lem  35784  lcmineqlem22  40510  sticksstones10  40566  sticksstones12a  40568  3cubeslem2  41011  acongeq  41310  jm3.1lem2  41345  inductionexd  42434  fzisoeu  43541  sumnnodd  43878  stoweidlem26  44274  wallispilem4  44316  wallispi2lem1  44319  wallispi2lem2  44320  fourierdlem26  44381  fourierdlem41  44396  fourierdlem42  44397  fourierdlem48  44402  fourierdlem63  44417  fourierdlem107  44461  smfmullem1  45039  fmtnorec2lem  45741  fmtnorec3  45747  lighneallem3  45806  bgoldbtbndlem2  46005  m1modmmod  46614  itscnhlc0yqe  46852  2itscplem1  46871  2itscplem3  46873
  Copyright terms: Public domain W3C validator