Theorem addsubassd 11560

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11599  mulsubdivbinom2  14234  hashun3  14356  swrdccatin2  14701  bpoly4  16032  gsumsgrpccat  18774  mndodconglem  19478  efgredleme  19680  psdmul  22060  ovollb2lem  25396  ply1divex  26049  tanarg  26535  affineequiv  26740  chordthmlem4  26752  heron  26755  dquartlem2  26769  quart  26778  bposlem9  27210  2lgslem3b  27315  2lgslem3c  27316  2lgslem3d  27317  dchrisum0re  27431  mulog2sumlem1  27452  selberglem2  27464  selberg4  27479  selbergr  27486  selberg3r  27487  selberg34r  27489  brbtwn2  28839  ax5seglem2  28863  wwlksnextwrd  29834  wwlksnextinj  29836  clwwlkccatlem  29925  ex-ind-dvds  30397  lt2addrd  32681  cycpmco2lem3  33092  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem6  33095  cycpmco2  33097  archirngz  33150  constrrtll  33728  constrrtlc1  33729  constrrtcclem  33731  cos9thpiminplylem1  33779  fibp1  34399  dnibndlem10  36482  bj-bary1lem  37305  lcmineqlem22  42045  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  sumcubes  42308  3cubeslem2  42680  acongeq  42979  jm3.1lem2  43014  inductionexd  44151  fzisoeu  45305  sumnnodd  45635  stoweidlem26  46031  wallispilem4  46073  wallispi2lem1  46076  wallispi2lem2  46077  fourierdlem26  46138  fourierdlem41  46153  fourierdlem42  46154  fourierdlem48  46159  fourierdlem63  46174  fourierdlem107  46218  smfmullem1  46796  m1modmmod  47363  fmtnorec2lem  47547  fmtnorec3  47553  lighneallem3  47612  bgoldbtbndlem2  47811  itscnhlc0yqe  48752  2itscplem1  48771  2itscplem3  48773