Theorem addsubassd 11593

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   − cmin 11446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-sub 11448

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11630  mulsubdivbinom2  14224  hashun3  14346  swrdccatin2  14681  bpoly4  16005  gsumsgrpccat  18723  mndodconglem  19411  efgredleme  19613  ovollb2lem  25012  ply1divex  25661  tanarg  26134  affineequiv  26335  chordthmlem4  26347  heron  26350  dquartlem2  26364  quart  26373  bposlem9  26802  2lgslem3b  26907  2lgslem3c  26908  2lgslem3d  26909  dchrisum0re  27023  mulog2sumlem1  27044  selberglem2  27056  selberg4  27071  selbergr  27078  selberg3r  27079  selberg34r  27081  brbtwn2  28201  ax5seglem2  28225  wwlksnextwrd  29189  wwlksnextinj  29191  clwwlkccatlem  29280  ex-ind-dvds  29752  lt2addrd  32002  cycpmco2lem3  32328  cycpmco2lem4  32329  cycpmco2lem5  32330  cycpmco2lem6  32331  cycpmco2  32333  archirngz  32376  fibp1  33469  dnibndlem10  35449  bj-bary1lem  36277  lcmineqlem22  41001  sticksstones10  41057  sticksstones12a  41059  sumcubes  41293  3cubeslem2  41505  acongeq  41804  jm3.1lem2  41839  inductionexd  42988  fzisoeu  44089  sumnnodd  44425  stoweidlem26  44821  wallispilem4  44863  wallispi2lem1  44866  wallispi2lem2  44867  fourierdlem26  44928  fourierdlem41  44943  fourierdlem42  44944  fourierdlem48  44949  fourierdlem63  44964  fourierdlem107  45008  smfmullem1  45586  fmtnorec2lem  46289  fmtnorec3  46295  lighneallem3  46354  bgoldbtbndlem2  46553  m1modmmod  47285  itscnhlc0yqe  47523  2itscplem1  47542  2itscplem3  47544