Theorem addsubassd 11614

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   + caddc 11132   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11651  mulsubdivbinom2  14280  hashun3  14402  swrdccatin2  14747  bpoly4  16075  gsumsgrpccat  18818  mndodconglem  19522  efgredleme  19724  psdmul  22104  ovollb2lem  25441  ply1divex  26094  tanarg  26580  affineequiv  26785  chordthmlem4  26797  heron  26800  dquartlem2  26814  quart  26823  bposlem9  27255  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  dchrisum0re  27476  mulog2sumlem1  27497  selberglem2  27509  selberg4  27524  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg34r  27534  brbtwn2  28884  ax5seglem2  28908  wwlksnextwrd  29879  wwlksnextinj  29881  clwwlkccatlem  29970  ex-ind-dvds  30442  lt2addrd  32728  cycpmco2lem3  33139  cycpmco2lem4  33140  cycpmco2lem5  33141  cycpmco2lem6  33142  cycpmco2  33144  archirngz  33187  constrrtll  33765  constrrtlc1  33766  constrrtcclem  33768  cos9thpiminplylem1  33816  fibp1  34433  dnibndlem10  36505  bj-bary1lem  37328  lcmineqlem22  42063  sticksstones10  42168  sticksstones12a  42170  sumcubes  42362  3cubeslem2  42708  acongeq  43007  jm3.1lem2  43042  inductionexd  44179  fzisoeu  45329  sumnnodd  45659  stoweidlem26  46055  wallispilem4  46097  wallispi2lem1  46100  wallispi2lem2  46101  fourierdlem26  46162  fourierdlem41  46177  fourierdlem42  46178  fourierdlem48  46183  fourierdlem63  46198  fourierdlem107  46242  smfmullem1  46820  fmtnorec2lem  47556  fmtnorec3  47562  lighneallem3  47621  bgoldbtbndlem2  47820  m1modmmod  48501  itscnhlc0yqe  48739  2itscplem1  48758  2itscplem3  48760