Theorem addsubassd 11667

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11704  mulsubdivbinom2  14311  hashun3  14433  swrdccatin2  14777  bpoly4  16107  gsumsgrpccat  18875  mndodconglem  19583  efgredleme  19785  psdmul  22193  ovollb2lem  25542  ply1divex  26196  tanarg  26679  affineequiv  26884  chordthmlem4  26896  heron  26899  dquartlem2  26913  quart  26922  bposlem9  27354  2lgslem3b  27459  2lgslem3c  27460  2lgslem3d  27461  dchrisum0re  27575  mulog2sumlem1  27596  selberglem2  27608  selberg4  27623  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg34r  27633  brbtwn2  28938  ax5seglem2  28962  wwlksnextwrd  29930  wwlksnextinj  29932  clwwlkccatlem  30021  ex-ind-dvds  30493  lt2addrd  32758  cycpmco2lem3  33121  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2  33126  archirngz  33169  constrrtll  33722  constrrtlc1  33723  constrrtcclem  33725  fibp1  34366  dnibndlem10  36453  bj-bary1lem  37276  lcmineqlem22  42007  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sumcubes  42301  3cubeslem2  42641  acongeq  42940  jm3.1lem2  42975  inductionexd  44117  fzisoeu  45215  sumnnodd  45551  stoweidlem26  45947  wallispilem4  45989  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  fourierdlem26  46054  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem48  46075  fourierdlem63  46090  fourierdlem107  46134  smfmullem1  46712  fmtnorec2lem  47416  fmtnorec3  47422  lighneallem3  47481  bgoldbtbndlem2  47680  m1modmmod  48255  itscnhlc0yqe  48493  2itscplem1  48512  2itscplem3  48514