Theorem addsubassd 11553

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11592  mulsubdivbinom2  14227  hashun3  14349  swrdccatin2  14694  bpoly4  16025  gsumsgrpccat  18767  mndodconglem  19471  efgredleme  19673  psdmul  22053  ovollb2lem  25389  ply1divex  26042  tanarg  26528  affineequiv  26733  chordthmlem4  26745  heron  26748  dquartlem2  26762  quart  26771  bposlem9  27203  2lgslem3b  27308  2lgslem3c  27309  2lgslem3d  27310  dchrisum0re  27424  mulog2sumlem1  27445  selberglem2  27457  selberg4  27472  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg34r  27482  brbtwn2  28832  ax5seglem2  28856  wwlksnextwrd  29827  wwlksnextinj  29829  clwwlkccatlem  29918  ex-ind-dvds  30390  lt2addrd  32674  cycpmco2lem3  33085  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2  33090  archirngz  33143  constrrtll  33721  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  cos9thpiminplylem1  33772  fibp1  34392  dnibndlem10  36475  bj-bary1lem  37298  lcmineqlem22  42038  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sumcubes  42301  3cubeslem2  42673  acongeq  42972  jm3.1lem2  43007  inductionexd  44144  fzisoeu  45298  sumnnodd  45628  stoweidlem26  46024  wallispilem4  46066  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  fourierdlem26  46131  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem48  46152  fourierdlem63  46167  fourierdlem107  46211  smfmullem1  46789  m1modmmod  47359  fmtnorec2lem  47543  fmtnorec3  47549  lighneallem3  47608  bgoldbtbndlem2  47807  itscnhlc0yqe  48748  2itscplem1  48767  2itscplem3  48769