Theorem addsubassd 11716

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   + caddc 11230   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570

This theorem is used by:  assraddsubd  11757  mulsubdivbinom2  14433  hashun3  14555  swrdccatin2  14906  bpoly4  16254  gsumsgrpccat  19065  mndodconglem  19785  efgredleme  19987  psdmul  22517  ovollb2lem  25839  ply1divex  26485  tanarg  26977  affineequiv  27181  chordthmlem4  27193  heron  27196  dquartlem2  27210  quart  27219  bposlem9  27649  2lgslem3b  27754  2lgslem3c  27755  2lgslem3d  27756  dchrisum0re  27870  mulog2sumlem1  27891  selberglem2  27903  selberg4  27918  selbergr  27925  selberg3r  27926  selberg34r  27928  brbtwn2  29513  ax5seglem2  29537  wwlksnextwrd  30516  wwlksnextinj  30518  clwwlkccatlem  30610  ex-ind-dvds  31092  lt2addrd  33412  cycpmco2lem3  33759  cycpmco2lem4  33760  cycpmco2lem5  33761  cycpmco2lem6  33762  cycpmco2  33764  archirngz  33820  constrrtll  34433  constrrtlc1  34434  constrrtcclem  34436  cos9thpiminplylem1  34484  fibp1  35103  dnibndlem10  37531  bj-bary1lem  38423  lcmineqlem22  43292  sticksstones10  43397  sticksstones12a  43399  sumcubes  43563  3cubeslem2  43888  acongeq  44183  jm3.1lem2  44218  inductionexd  45347  fzisoeu  46521  sumnnodd  46847  stoweidlem26  47241  wallispilem4  47283  wallispi2lem1  47286  wallispi2lem2  47287  fourierdlem26  47348  fourierdlem41  47363  fourierdlem42  47364  fourierdlem48  47369  fourierdlem63  47384  fourierdlem107  47428  smfmullem1  48006  m1modmmod  48639  fmtnorec2lem  48832  fmtnorec3  48838  lighneallem3  48897  bgoldbtbndlem2  49109  itscnhlc0yqe  50076  2itscplem1  50095  2itscplem3  50097