Theorem addsubassd 11559

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11598  mulsubdivbinom2  14272  hashun3  14394  swrdccatin2  14739  bpoly4  16072  gsumsgrpccat  18857  mndodconglem  19564  efgredleme  19766  psdmul  22211  ovollb2lem  25530  ply1divex  26177  tanarg  26661  affineequiv  26865  chordthmlem4  26877  heron  26880  dquartlem2  26894  quart  26903  bposlem9  27333  2lgslem3b  27438  2lgslem3c  27439  2lgslem3d  27440  dchrisum0re  27554  mulog2sumlem1  27575  selberglem2  27587  selberg4  27602  selbergr  27609  selberg3r  27610  selberg34r  27612  brbtwn2  29052  ax5seglem2  29076  wwlksnextwrd  30043  wwlksnextinj  30045  clwwlkccatlem  30137  ex-ind-dvds  30609  lt2addrd  32902  cycpmco2lem3  33269  cycpmco2lem4  33270  cycpmco2lem5  33271  cycpmco2lem6  33272  cycpmco2  33274  archirngz  33330  constrrtll  33989  constrrtlc1  33990  constrrtcclem  33992  cos9thpiminplylem1  34040  fibp1  34659  dnibndlem10  36889  bj-bary1lem  37766  lcmineqlem22  42631  sticksstones10  42736  sticksstones12a  42738  sumcubes  42886  3cubeslem2  43230  acongeq  43524  jm3.1lem2  43559  inductionexd  44695  fzisoeu  45843  sumnnodd  46170  stoweidlem26  46564  wallispilem4  46606  wallispi2lem1  46609  wallispi2lem2  46610  fourierdlem26  46671  fourierdlem41  46686  fourierdlem42  46687  fourierdlem48  46692  fourierdlem63  46707  fourierdlem107  46751  smfmullem1  47329  m1modmmod  47922  fmtnorec2lem  48115  fmtnorec3  48121  lighneallem3  48180  bgoldbtbndlem2  48392  itscnhlc0yqe  49345  2itscplem1  49364  2itscplem3  49366