Theorem addsubassd 11525

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11564  mulsubdivbinom2  14224  hashun3  14346  swrdccatin2  14691  bpoly4  16024  gsumsgrpccat  18808  mndodconglem  19516  efgredleme  19718  psdmul  22132  ovollb2lem  25455  ply1divex  26102  tanarg  26583  affineequiv  26787  chordthmlem4  26799  heron  26802  dquartlem2  26816  quart  26825  bposlem9  27255  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  dchrisum0re  27476  mulog2sumlem1  27497  selberglem2  27509  selberg4  27524  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg34r  27534  brbtwn2  28974  ax5seglem2  28998  wwlksnextwrd  29965  wwlksnextinj  29967  clwwlkccatlem  30059  ex-ind-dvds  30531  lt2addrd  32823  cycpmco2lem3  33189  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2  33194  archirngz  33250  constrrtll  33875  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  cos9thpiminplylem1  33926  fibp1  34545  dnibndlem10  36747  bj-bary1lem  37624  lcmineqlem22  42489  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sumcubes  42745  3cubeslem2  43117  acongeq  43411  jm3.1lem2  43446  inductionexd  44582  fzisoeu  45733  sumnnodd  46060  stoweidlem26  46454  wallispilem4  46496  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  fourierdlem26  46561  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem48  46582  fourierdlem63  46597  fourierdlem107  46641  smfmullem1  47219  m1modmmod  47812  fmtnorec2lem  48005  fmtnorec3  48011  lighneallem3  48070  bgoldbtbndlem2  48282  itscnhlc0yqe  49235  2itscplem1  49254  2itscplem3  49256