Theorem addsubassd 11670

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11548	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  assraddsubd  11711  mulsubdivbinom2  14386  hashun3  14508  swrdccatin2  14858  bpoly4  16205  gsumsgrpccat  19016  mndodconglem  19735  efgredleme  19937  psdmul  22467  ovollb2lem  25789  ply1divex  26435  tanarg  26929  affineequiv  27133  chordthmlem4  27145  heron  27148  dquartlem2  27162  quart  27171  bposlem9  27601  2lgslem3b  27706  2lgslem3c  27707  2lgslem3d  27708  dchrisum0re  27822  mulog2sumlem1  27843  selberglem2  27855  selberg4  27870  selbergr  27877  selberg3r  27878  selberg34r  27880  brbtwn2  29465  ax5seglem2  29489  wwlksnextwrd  30468  wwlksnextinj  30470  clwwlkccatlem  30562  ex-ind-dvds  31044  lt2addrd  33324  cycpmco2lem3  33671  cycpmco2lem4  33672  cycpmco2lem5  33673  cycpmco2lem6  33674  cycpmco2  33676  archirngz  33732  constrrtll  34345  constrrtlc1  34346  constrrtcclem  34348  cos9thpiminplylem1  34396  fibp1  35016  dnibndlem10  37323  bj-bary1lem  38199  lcmineqlem22  43068  sticksstones10  43173  sticksstones12a  43175  sumcubes  43338  3cubeslem2  43649  acongeq  43943  jm3.1lem2  43978  inductionexd  45114  fzisoeu  46259  sumnnodd  46586  stoweidlem26  46980  wallispilem4  47022  wallispi2lem1  47025  wallispi2lem2  47026  fourierdlem26  47087  fourierdlem41  47102  fourierdlem42  47103  fourierdlem48  47108  fourierdlem63  47123  fourierdlem107  47167  smfmullem1  47745  m1modmmod  48378  fmtnorec2lem  48571  fmtnorec3  48577  lighneallem3  48636  bgoldbtbndlem2  48848  itscnhlc0yqe  49815  2itscplem1  49834  2itscplem3  49836