Theorem addsubassd 10870

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 10749	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1364	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7021  ℂcc 10386   + caddc 10391   − cmin 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-ltxr 10531  df-sub 10724

This theorem is referenced by:  assraddsubd  10907  mulsubdivbinom2  13477  hashun3  13598  swrdccatin2  13932  bpoly4  15251  gsumccat  17822  mndodconglem  18405  efgredleme  18601  ovollb2lem  23777  ply1divex  24418  tanarg  24888  affineequiv  25087  chordthmlem4  25099  heron  25102  dquartlem2  25116  quart  25125  bposlem9  25555  2lgslem3b  25660  2lgslem3c  25661  2lgslem3d  25662  dchrisum0re  25776  mulog2sumlem1  25797  selberglem2  25809  selberg4  25824  selbergr  25831  selberg3r  25832  selberg34r  25834  brbtwn2  26379  ax5seglem2  26403  wwlksnextwrd  27367  wwlksnextinj  27369  clwwlkccatlem  27459  ex-ind-dvds  27937  lt2addrd  30168  archirngz  30461  fibp1  31281  dnibndlem10  33442  bj-bary1lem  34154  acongeq  39091  jm3.1lem2  39126  inductionexd  40016  fzisoeu  41134  sumnnodd  41479  stoweidlem26  41880  wallispilem4  41922  wallispi2lem1  41925  wallispi2lem2  41926  fourierdlem26  41987  fourierdlem41  42002  fourierdlem42  42003  fourierdlem48  42008  fourierdlem63  42023  fourierdlem107  42067  smfmullem1  42635  fmtnorec2lem  43213  fmtnorec3  43219  lighneallem3  43281  bgoldbtbndlem2  43480  m1modmmod  44089  itscnhlc0yqe  44254  2itscplem1  44273  2itscplem3  44275