Theorem addsubassd 11512

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11551  mulsubdivbinom2  14185  hashun3  14307  swrdccatin2  14652  bpoly4  15982  gsumsgrpccat  18765  mndodconglem  19470  efgredleme  19672  psdmul  22109  ovollb2lem  25445  ply1divex  26098  tanarg  26584  affineequiv  26789  chordthmlem4  26801  heron  26804  dquartlem2  26818  quart  26827  bposlem9  27259  2lgslem3b  27364  2lgslem3c  27365  2lgslem3d  27366  dchrisum0re  27480  mulog2sumlem1  27501  selberglem2  27513  selberg4  27528  selbergr  27535  selberg3r  27536  selberg34r  27538  brbtwn2  28978  ax5seglem2  29002  wwlksnextwrd  29970  wwlksnextinj  29972  clwwlkccatlem  30064  ex-ind-dvds  30536  lt2addrd  32830  cycpmco2lem3  33210  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2  33215  archirngz  33271  constrrtll  33888  constrrtlc1  33889  constrrtcclem  33891  cos9thpiminplylem1  33939  fibp1  34558  dnibndlem10  36687  bj-bary1lem  37511  lcmineqlem22  42300  sticksstones10  42405  sticksstones12a  42407  sumcubes  42564  3cubeslem2  42923  acongeq  43221  jm3.1lem2  43256  inductionexd  44392  fzisoeu  45544  sumnnodd  45872  stoweidlem26  46266  wallispilem4  46308  wallispi2lem1  46311  wallispi2lem2  46312  fourierdlem26  46373  fourierdlem41  46388  fourierdlem42  46389  fourierdlem48  46394  fourierdlem63  46409  fourierdlem107  46453  smfmullem1  47031  m1modmmod  47600  fmtnorec2lem  47784  fmtnorec3  47790  lighneallem3  47849  bgoldbtbndlem2  48048  itscnhlc0yqe  49001  2itscplem1  49020  2itscplem3  49022