Theorem addsubassd 11513

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11552  mulsubdivbinom2  14187  hashun3  14309  swrdccatin2  14653  bpoly4  15984  gsumsgrpccat  18732  mndodconglem  19438  efgredleme  19640  psdmul  22069  ovollb2lem  25405  ply1divex  26058  tanarg  26544  affineequiv  26749  chordthmlem4  26761  heron  26764  dquartlem2  26778  quart  26787  bposlem9  27219  2lgslem3b  27324  2lgslem3c  27325  2lgslem3d  27326  dchrisum0re  27440  mulog2sumlem1  27461  selberglem2  27473  selberg4  27488  selbergr  27495  selberg3r  27496  selberg34r  27498  brbtwn2  28868  ax5seglem2  28892  wwlksnextwrd  29860  wwlksnextinj  29862  clwwlkccatlem  29951  ex-ind-dvds  30423  lt2addrd  32707  cycpmco2lem3  33083  cycpmco2lem4  33084  cycpmco2lem5  33085  cycpmco2lem6  33086  cycpmco2  33088  archirngz  33141  constrrtll  33697  constrrtlc1  33698  constrrtcclem  33700  cos9thpiminplylem1  33748  fibp1  34368  dnibndlem10  36460  bj-bary1lem  37283  lcmineqlem22  42023  sticksstones10  42128  sticksstones12a  42130  sumcubes  42286  3cubeslem2  42658  acongeq  42956  jm3.1lem2  42991  inductionexd  44128  fzisoeu  45282  sumnnodd  45612  stoweidlem26  46008  wallispilem4  46050  wallispi2lem1  46053  wallispi2lem2  46054  fourierdlem26  46115  fourierdlem41  46130  fourierdlem42  46131  fourierdlem48  46136  fourierdlem63  46151  fourierdlem107  46195  smfmullem1  46773  m1modmmod  47343  fmtnorec2lem  47527  fmtnorec3  47533  lighneallem3  47592  bgoldbtbndlem2  47791  itscnhlc0yqe  48745  2itscplem1  48764  2itscplem3  48766