Theorem addsubassd 11523

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11562  mulsubdivbinom2  14222  hashun3  14344  swrdccatin2  14689  bpoly4  16022  gsumsgrpccat  18806  mndodconglem  19514  efgredleme  19716  psdmul  22161  ovollb2lem  25480  ply1divex  26127  tanarg  26608  affineequiv  26812  chordthmlem4  26824  heron  26827  dquartlem2  26841  quart  26850  bposlem9  27280  2lgslem3b  27385  2lgslem3c  27386  2lgslem3d  27387  dchrisum0re  27501  mulog2sumlem1  27522  selberglem2  27534  selberg4  27549  selbergr  27556  selberg3r  27557  selberg34r  27559  brbtwn2  28999  ax5seglem2  29023  wwlksnextwrd  29990  wwlksnextinj  29992  clwwlkccatlem  30084  ex-ind-dvds  30556  lt2addrd  32849  cycpmco2lem3  33216  cycpmco2lem4  33217  cycpmco2lem5  33218  cycpmco2lem6  33219  cycpmco2  33221  archirngz  33277  constrrtll  33922  constrrtlc1  33923  constrrtcclem  33925  cos9thpiminplylem1  33973  fibp1  34592  dnibndlem10  36800  bj-bary1lem  37677  lcmineqlem22  42542  sticksstones10  42647  sticksstones12a  42649  sumcubes  42797  3cubeslem2  43141  acongeq  43435  jm3.1lem2  43470  inductionexd  44606  fzisoeu  45755  sumnnodd  46082  stoweidlem26  46476  wallispilem4  46518  wallispi2lem1  46521  wallispi2lem2  46522  fourierdlem26  46583  fourierdlem41  46598  fourierdlem42  46599  fourierdlem48  46604  fourierdlem63  46619  fourierdlem107  46663  smfmullem1  47241  m1modmmod  47834  fmtnorec2lem  48027  fmtnorec3  48033  lighneallem3  48092  bgoldbtbndlem2  48304  itscnhlc0yqe  49257  2itscplem1  49276  2itscplem3  49278