Theorem addsubassd 11573

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  ℂcc 11090   + caddc 11095   − cmin 11426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11610  mulsubdivbinom2  14204  hashun3  14326  swrdccatin2  14661  bpoly4  15985  gsumsgrpccat  18696  mndodconglem  19373  efgredleme  19575  ovollb2lem  24934  ply1divex  25583  tanarg  26056  affineequiv  26255  chordthmlem4  26267  heron  26270  dquartlem2  26284  quart  26293  bposlem9  26722  2lgslem3b  26827  2lgslem3c  26828  2lgslem3d  26829  dchrisum0re  26943  mulog2sumlem1  26964  selberglem2  26976  selberg4  26991  selbergr  26998  selberg3r  26999  selberg34r  27001  brbtwn2  28028  ax5seglem2  28052  wwlksnextwrd  29016  wwlksnextinj  29018  clwwlkccatlem  29107  ex-ind-dvds  29579  lt2addrd  31835  cycpmco2lem3  32158  cycpmco2lem4  32159  cycpmco2lem5  32160  cycpmco2lem6  32161  cycpmco2  32163  archirngz  32206  fibp1  33229  dnibndlem10  35165  bj-bary1lem  35993  lcmineqlem22  40718  sticksstones10  40774  sticksstones12a  40776  3cubeslem2  41192  acongeq  41491  jm3.1lem2  41526  inductionexd  42675  fzisoeu  43781  sumnnodd  44117  stoweidlem26  44513  wallispilem4  44555  wallispi2lem1  44558  wallispi2lem2  44559  fourierdlem26  44620  fourierdlem41  44635  fourierdlem42  44636  fourierdlem48  44641  fourierdlem63  44656  fourierdlem107  44700  smfmullem1  45278  fmtnorec2lem  45980  fmtnorec3  45986  lighneallem3  46045  bgoldbtbndlem2  46244  m1modmmod  46853  itscnhlc0yqe  47091  2itscplem1  47110  2itscplem3  47112