Theorem addsubassd 11692

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  assraddsubd  11733  mulsubdivbinom2  14409  hashun3  14531  swrdccatin2  14882  bpoly4  16230  gsumsgrpccat  19041  mndodconglem  19760  efgredleme  19962  psdmul  22492  ovollb2lem  25814  ply1divex  26460  tanarg  26952  affineequiv  27156  chordthmlem4  27168  heron  27171  dquartlem2  27185  quart  27194  bposlem9  27624  2lgslem3b  27729  2lgslem3c  27730  2lgslem3d  27731  dchrisum0re  27845  mulog2sumlem1  27866  selberglem2  27878  selberg4  27893  selbergr  27900  selberg3r  27901  selberg34r  27903  brbtwn2  29488  ax5seglem2  29512  wwlksnextwrd  30491  wwlksnextinj  30493  clwwlkccatlem  30585  ex-ind-dvds  31067  lt2addrd  33388  cycpmco2lem3  33735  cycpmco2lem4  33736  cycpmco2lem5  33737  cycpmco2lem6  33738  cycpmco2  33740  archirngz  33796  constrrtll  34409  constrrtlc1  34410  constrrtcclem  34412  cos9thpiminplylem1  34460  fibp1  35079  dnibndlem10  37445  bj-bary1lem  38324  lcmineqlem22  43193  sticksstones10  43298  sticksstones12a  43300  sumcubes  43463  3cubeslem2  43788  acongeq  44083  jm3.1lem2  44118  inductionexd  45248  fzisoeu  46409  sumnnodd  46735  stoweidlem26  47129  wallispilem4  47171  wallispi2lem1  47174  wallispi2lem2  47175  fourierdlem26  47236  fourierdlem41  47251  fourierdlem42  47252  fourierdlem48  47257  fourierdlem63  47272  fourierdlem107  47316  smfmullem1  47894  m1modmmod  48527  fmtnorec2lem  48720  fmtnorec3  48726  lighneallem3  48785  bgoldbtbndlem2  48997  itscnhlc0yqe  49964  2itscplem1  49983  2itscplem3  49985