Theorem addsubassd 11637

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   + caddc 11155   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11674  mulsubdivbinom2  14297  hashun3  14419  swrdccatin2  14763  bpoly4  16091  gsumsgrpccat  18865  mndodconglem  19573  efgredleme  19775  psdmul  22187  ovollb2lem  25536  ply1divex  26190  tanarg  26675  affineequiv  26880  chordthmlem4  26892  heron  26895  dquartlem2  26909  quart  26918  bposlem9  27350  2lgslem3b  27455  2lgslem3c  27456  2lgslem3d  27457  dchrisum0re  27571  mulog2sumlem1  27592  selberglem2  27604  selberg4  27619  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg34r  27629  brbtwn2  28934  ax5seglem2  28958  wwlksnextwrd  29926  wwlksnextinj  29928  clwwlkccatlem  30017  ex-ind-dvds  30489  lt2addrd  32761  cycpmco2lem3  33130  cycpmco2lem4  33131  cycpmco2lem5  33132  cycpmco2lem6  33133  cycpmco2  33135  archirngz  33178  constrrtll  33736  constrrtlc1  33737  constrrtcclem  33739  fibp1  34382  dnibndlem10  36469  bj-bary1lem  37292  lcmineqlem22  42031  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sumcubes  42325  3cubeslem2  42672  acongeq  42971  jm3.1lem2  43006  inductionexd  44144  fzisoeu  45250  sumnnodd  45585  stoweidlem26  45981  wallispilem4  46023  wallispi2lem1  46026  wallispi2lem2  46027  fourierdlem26  46088  fourierdlem41  46103  fourierdlem42  46104  fourierdlem48  46109  fourierdlem63  46124  fourierdlem107  46168  smfmullem1  46746  fmtnorec2lem  47466  fmtnorec3  47472  lighneallem3  47531  bgoldbtbndlem2  47730  m1modmmod  48370  itscnhlc0yqe  48608  2itscplem1  48627  2itscplem3  48629