Theorem addsubassd 11607

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  assraddsubd  11646  mulsubdivbinom2  14318  hashun3  14440  swrdccatin2  14790  bpoly4  16138  gsumsgrpccat  18930  mndodconglem  19642  efgredleme  19844  psdmul  22366  ovollb2lem  25684  ply1divex  26331  tanarg  26821  affineequiv  27025  chordthmlem4  27037  heron  27040  dquartlem2  27054  quart  27063  bposlem9  27493  2lgslem3b  27598  2lgslem3c  27599  2lgslem3d  27600  dchrisum0re  27714  mulog2sumlem1  27735  selberglem2  27747  selberg4  27762  selbergr  27769  selberg3r  27770  selberg34r  27772  brbtwn2  29292  ax5seglem2  29316  wwlksnextwrd  30283  wwlksnextinj  30285  clwwlkccatlem  30377  ex-ind-dvds  30849  lt2addrd  33132  cycpmco2lem3  33479  cycpmco2lem4  33480  cycpmco2lem5  33481  cycpmco2lem6  33482  cycpmco2  33484  archirngz  33540  constrrtll  34152  constrrtlc1  34153  constrrtcclem  34155  cos9thpiminplylem1  34203  fibp1  34823  dnibndlem10  37117  bj-bary1lem  37995  lcmineqlem22  42858  sticksstones10  42963  sticksstones12a  42965  sumcubes  43115  3cubeslem2  43457  acongeq  43751  jm3.1lem2  43786  inductionexd  44922  fzisoeu  46060  sumnnodd  46387  stoweidlem26  46781  wallispilem4  46823  wallispi2lem1  46826  wallispi2lem2  46827  fourierdlem26  46888  fourierdlem41  46903  fourierdlem42  46904  fourierdlem48  46909  fourierdlem63  46924  fourierdlem107  46968  smfmullem1  47546  m1modmmod  48142  fmtnorec2lem  48335  fmtnorec3  48341  lighneallem3  48400  bgoldbtbndlem2  48612  itscnhlc0yqe  49580  2itscplem1  49599  2itscplem3  49601