Theorem addsubassd 11577

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11616  mulsubdivbinom2  14289  hashun3  14411  swrdccatin2  14756  bpoly4  16103  gsumsgrpccat  18889  mndodconglem  19602  efgredleme  19804  psdmul  22289  ovollb2lem  25608  ply1divex  26255  tanarg  26742  affineequiv  26946  chordthmlem4  26958  heron  26961  dquartlem2  26975  quart  26984  bposlem9  27414  2lgslem3b  27519  2lgslem3c  27520  2lgslem3d  27521  dchrisum0re  27635  mulog2sumlem1  27656  selberglem2  27668  selberg4  27683  selbergr  27690  selberg3r  27691  selberg34r  27693  brbtwn2  29164  ax5seglem2  29188  wwlksnextwrd  30155  wwlksnextinj  30157  clwwlkccatlem  30249  ex-ind-dvds  30721  lt2addrd  33007  cycpmco2lem3  33361  cycpmco2lem4  33362  cycpmco2lem5  33363  cycpmco2lem6  33364  cycpmco2  33366  archirngz  33422  constrrtll  34038  constrrtlc1  34039  constrrtcclem  34041  cos9thpiminplylem1  34089  fibp1  34708  dnibndlem10  36938  bj-bary1lem  37814  lcmineqlem22  42679  sticksstones10  42784  sticksstones12a  42786  sumcubes  42934  3cubeslem2  43278  acongeq  43572  jm3.1lem2  43607  inductionexd  44743  fzisoeu  45877  sumnnodd  46204  stoweidlem26  46598  wallispilem4  46640  wallispi2lem1  46643  wallispi2lem2  46644  fourierdlem26  46705  fourierdlem41  46720  fourierdlem42  46721  fourierdlem48  46726  fourierdlem63  46741  fourierdlem107  46785  smfmullem1  47363  m1modmmod  47956  fmtnorec2lem  48149  fmtnorec3  48155  lighneallem3  48214  bgoldbtbndlem2  48426  itscnhlc0yqe  49390  2itscplem1  49409  2itscplem3  49411