Theorem addsubassd 11689

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   + caddc 11203   − cmin 11541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543

This theorem is used by:  assraddsubd  11730  mulsubdivbinom2  14406  hashun3  14528  swrdccatin2  14878  bpoly4  16225  gsumsgrpccat  19036  mndodconglem  19755  efgredleme  19957  psdmul  22487  ovollb2lem  25809  ply1divex  26455  tanarg  26947  affineequiv  27151  chordthmlem4  27163  heron  27166  dquartlem2  27180  quart  27189  bposlem9  27619  2lgslem3b  27724  2lgslem3c  27725  2lgslem3d  27726  dchrisum0re  27840  mulog2sumlem1  27861  selberglem2  27873  selberg4  27888  selbergr  27895  selberg3r  27896  selberg34r  27898  brbtwn2  29483  ax5seglem2  29507  wwlksnextwrd  30486  wwlksnextinj  30488  clwwlkccatlem  30580  ex-ind-dvds  31062  lt2addrd  33342  cycpmco2lem3  33689  cycpmco2lem4  33690  cycpmco2lem5  33691  cycpmco2lem6  33692  cycpmco2  33694  archirngz  33750  constrrtll  34363  constrrtlc1  34364  constrrtcclem  34366  cos9thpiminplylem1  34414  fibp1  35033  dnibndlem10  37353  bj-bary1lem  38232  lcmineqlem22  43101  sticksstones10  43206  sticksstones12a  43208  sumcubes  43371  3cubeslem2  43696  acongeq  43990  jm3.1lem2  44025  inductionexd  45155  fzisoeu  46316  sumnnodd  46642  stoweidlem26  47036  wallispilem4  47078  wallispi2lem1  47081  wallispi2lem2  47082  fourierdlem26  47143  fourierdlem41  47158  fourierdlem42  47159  fourierdlem48  47164  fourierdlem63  47179  fourierdlem107  47223  smfmullem1  47801  m1modmmod  48434  fmtnorec2lem  48627  fmtnorec3  48633  lighneallem3  48692  bgoldbtbndlem2  48904  itscnhlc0yqe  49871  2itscplem1  49890  2itscplem3  49892