Theorem addsubassd 11489

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   + caddc 11006   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11528  mulsubdivbinom2  14166  hashun3  14288  swrdccatin2  14633  bpoly4  15963  gsumsgrpccat  18745  mndodconglem  19451  efgredleme  19653  psdmul  22079  ovollb2lem  25414  ply1divex  26067  tanarg  26553  affineequiv  26758  chordthmlem4  26770  heron  26773  dquartlem2  26787  quart  26796  bposlem9  27228  2lgslem3b  27333  2lgslem3c  27334  2lgslem3d  27335  dchrisum0re  27449  mulog2sumlem1  27470  selberglem2  27482  selberg4  27497  selbergr  27504  selberg3r  27505  selberg34r  27507  brbtwn2  28881  ax5seglem2  28905  wwlksnextwrd  29873  wwlksnextinj  29875  clwwlkccatlem  29964  ex-ind-dvds  30436  lt2addrd  32729  cycpmco2lem3  33092  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem6  33095  cycpmco2  33097  archirngz  33153  constrrtll  33739  constrrtlc1  33740  constrrtcclem  33742  cos9thpiminplylem1  33790  fibp1  34409  dnibndlem10  36520  bj-bary1lem  37343  lcmineqlem22  42082  sticksstones10  42187  sticksstones12a  42189  sumcubes  42345  3cubeslem2  42717  acongeq  43015  jm3.1lem2  43050  inductionexd  44187  fzisoeu  45340  sumnnodd  45669  stoweidlem26  46063  wallispilem4  46105  wallispi2lem1  46108  wallispi2lem2  46109  fourierdlem26  46170  fourierdlem41  46185  fourierdlem42  46186  fourierdlem48  46191  fourierdlem63  46206  fourierdlem107  46250  smfmullem1  46828  m1modmmod  47388  fmtnorec2lem  47572  fmtnorec3  47578  lighneallem3  47637  bgoldbtbndlem2  47836  itscnhlc0yqe  48790  2itscplem1  48809  2itscplem3  48811