Theorem addsubassd 11524

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  assraddsubd  11563  mulsubdivbinom2  14197  hashun3  14319  swrdccatin2  14664  bpoly4  15994  gsumsgrpccat  18777  mndodconglem  19482  efgredleme  19684  psdmul  22121  ovollb2lem  25457  ply1divex  26110  tanarg  26596  affineequiv  26801  chordthmlem4  26813  heron  26816  dquartlem2  26830  quart  26839  bposlem9  27271  2lgslem3b  27376  2lgslem3c  27377  2lgslem3d  27378  dchrisum0re  27492  mulog2sumlem1  27513  selberglem2  27525  selberg4  27540  selbergr  27547  selberg3r  27548  selberg34r  27550  brbtwn2  28990  ax5seglem2  29014  wwlksnextwrd  29982  wwlksnextinj  29984  clwwlkccatlem  30076  ex-ind-dvds  30548  lt2addrd  32840  cycpmco2lem3  33221  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem6  33224  cycpmco2  33226  archirngz  33282  constrrtll  33908  constrrtlc1  33909  constrrtcclem  33911  cos9thpiminplylem1  33959  fibp1  34578  dnibndlem10  36706  bj-bary1lem  37559  lcmineqlem22  42414  sticksstones10  42519  sticksstones12a  42521  sumcubes  42677  3cubeslem2  43036  acongeq  43334  jm3.1lem2  43369  inductionexd  44505  fzisoeu  45656  sumnnodd  45984  stoweidlem26  46378  wallispilem4  46420  wallispi2lem1  46423  wallispi2lem2  46424  fourierdlem26  46485  fourierdlem41  46500  fourierdlem42  46501  fourierdlem48  46506  fourierdlem63  46521  fourierdlem107  46565  smfmullem1  47143  m1modmmod  47712  fmtnorec2lem  47896  fmtnorec3  47902  lighneallem3  47961  bgoldbtbndlem2  48160  itscnhlc0yqe  49113  2itscplem1  49132  2itscplem3  49134