Theorem addsubassd 11617

Description: Associative-type law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

Proof of Theorem addsubassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsubass 11495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  assraddsubd  11656  mulsubdivbinom2  14330  hashun3  14452  swrdccatin2  14802  bpoly4  16151  gsumsgrpccat  18955  mndodconglem  19674  efgredleme  19876  psdmul  22400  ovollb2lem  25722  ply1divex  26369  tanarg  26864  affineequiv  27068  chordthmlem4  27080  heron  27083  dquartlem2  27097  quart  27106  bposlem9  27536  2lgslem3b  27641  2lgslem3c  27642  2lgslem3d  27643  dchrisum0re  27757  mulog2sumlem1  27778  selberglem2  27790  selberg4  27805  selbergr  27812  selberg3r  27813  selberg34r  27815  brbtwn2  29370  ax5seglem2  29394  wwlksnextwrd  30373  wwlksnextinj  30375  clwwlkccatlem  30467  ex-ind-dvds  30949  lt2addrd  33229  cycpmco2lem3  33576  cycpmco2lem4  33577  cycpmco2lem5  33578  cycpmco2lem6  33579  cycpmco2  33581  archirngz  33637  constrrtll  34249  constrrtlc1  34250  constrrtcclem  34252  cos9thpiminplylem1  34300  fibp1  34920  dnibndlem10  37192  bj-bary1lem  38070  lcmineqlem22  42924  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  sumcubes  43196  3cubeslem2  43538  acongeq  43832  jm3.1lem2  43867  inductionexd  45003  fzisoeu  46141  sumnnodd  46468  stoweidlem26  46862  wallispilem4  46904  wallispi2lem1  46907  wallispi2lem2  46908  fourierdlem26  46969  fourierdlem41  46984  fourierdlem42  46985  fourierdlem48  46990  fourierdlem63  47005  fourierdlem107  47049  smfmullem1  47627  m1modmmod  48260  fmtnorec2lem  48453  fmtnorec3  48459  lighneallem3  48518  bgoldbtbndlem2  48730  itscnhlc0yqe  49697  2itscplem1  49716  2itscplem3  49718