Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem3 35659
Description: Lemma for dnibnd 35670. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem3.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3
StepHypRef Expression
1 dnibndlem3.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 11246 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 halfre 12430 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
51, 4jca 510 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6 readdcl 11195 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8 reflcl 13765 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
109recnd 11246 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11 halfcn 12431 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
1310, 12subcld 11575 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 11246 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
162, 13, 153jca 1126 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17 npncan 11485 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1918eqcomd 2736 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20 dnibndlem3.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
2120oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
2214, 4jca 510 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23 readdcl 11195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25 reflcl 13765 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2726recnd 11246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28 1cnd 11213 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28, 123jca 1126 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30 addsubass 11474 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32 1mhlfehlf 12435 . . . . . . . 8 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
3433oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3521, 31, 343eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3635oveq1d 7426 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
3736oveq2d 7427 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3819, 37eqtrd 2770 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3938fveq2d 6894 1 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  cmpt 5230  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  cfl 13759  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13761
This theorem is referenced by:  dnibndlem9  35665
  Copyright terms: Public domain W3C validator