Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem3 33827
Description: Lemma for dnibnd 33838. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem3.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3
StepHypRef Expression
1 dnibndlem3.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 10647 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 halfre 11830 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
51, 4jca 514 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6 readdcl 10598 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8 reflcl 13150 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
109recnd 10647 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11 halfcn 11831 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
1310, 12subcld 10975 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 10647 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
162, 13, 153jca 1124 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17 npncan 10885 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1918eqcomd 2826 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20 dnibndlem3.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
2120oveq1d 7148 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
2214, 4jca 514 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23 readdcl 10598 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25 reflcl 13150 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2726recnd 10647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28 1cnd 10614 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28, 123jca 1124 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30 addsubass 10874 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32 1mhlfehlf 11835 . . . . . . . 8 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
3433oveq2d 7149 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3521, 31, 343eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3635oveq1d 7148 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
3736oveq2d 7149 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3819, 37eqtrd 2855 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3938fveq2d 6650 1 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  1c1 10516   + caddc 10518  cmin 10848   / cdiv 11275  2c2 11671  cfl 13144  abscabs 14573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fl 13146
This theorem is referenced by:  dnibndlem9  33833
  Copyright terms: Public domain W3C validator