Theorem dnibndlem3 35660

Description: Lemma for dnibnd 35671. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem3.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem3	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		halfre 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6		readdcl 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8		reflcl 13766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11		halfcn 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14		dnibndlem3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	2, 13, 15	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17		npncan 11486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20		dnibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
21	20	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
22	14, 4	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23		readdcl 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25		reflcl 13766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28		1cnd 11214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28, 12	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30		addsubass 11475	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32		1mhlfehlf 12436	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
34	33	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
35	21, 31, 34	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
36	35	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
37	36	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
38	19, 37	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
39	38	fveq2d 6895	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   − cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  ⌊cfl 13760  abscabs 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fl 13762

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  35666