Theorem dnibndlem3 34660

Description: Lemma for dnibnd 34671. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem3.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem3	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		halfre 12187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6		readdcl 10954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8		reflcl 13516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11		halfcn 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14		dnibndlem3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	2, 13, 15	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17		npncan 11242	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20		dnibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
21	20	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
22	14, 4	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23		readdcl 10954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25		reflcl 13516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28		1cnd 10970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28, 12	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30		addsubass 11231	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32		1mhlfehlf 12192	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
34	33	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
35	21, 31, 34	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
36	35	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
37	36	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
38	19, 37	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
39	38	fveq2d 6778	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ⌊cfl 13510  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fl 13512

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  34666