Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem3 36463
Description: Lemma for dnibnd 36474. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem3.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3
StepHypRef Expression
1 dnibndlem3.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 halfre 12478 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
51, 4jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6 readdcl 11236 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8 reflcl 13833 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11 halfcn 12479 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
1310, 12subcld 11618 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
162, 13, 153jca 1127 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17 npncan 11528 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1918eqcomd 2741 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20 dnibndlem3.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
2120oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
2214, 4jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23 readdcl 11236 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25 reflcl 13833 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2726recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28 1cnd 11254 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28, 123jca 1127 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30 addsubass 11516 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32 1mhlfehlf 12483 . . . . . . . 8 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
3433oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3521, 31, 343eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3635oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
3736oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3819, 37eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3938fveq2d 6911 1 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  cfl 13827  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fl 13829
This theorem is referenced by:  dnibndlem9  36469
  Copyright terms: Public domain W3C validator