Theorem dnibndlem3 37164

Description: Lemma for dnibnd 37175. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem3.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem3	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem3.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		halfre 12484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6		readdcl 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8		reflcl 13859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11		halfcn 12485	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
13	10, 12	subcld 11596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14		dnibndlem3.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	2, 13, 15	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17		npncan 11506	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20		dnibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
21	20	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
22	14, 4	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23		readdcl 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25		reflcl 13859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28		1cnd 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28, 12	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30		addsubass 11494	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
31	29, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32		1mhlfehlf 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
34	33	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
35	21, 31, 34	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
36	35	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
37	36	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
38	19, 37	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
39	38	fveq2d 6886	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468   / cdiv 11898  2c2 12322  ⌊cfl 13853  abscabs 15323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fl 13855

This theorem is used by:  dnibndlem9  37170