Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 215 of 449) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-28622) |
Hilbert Space Explorer
(28623-30145) |
Users' Mathboxes
(30146-44834) |
Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chfacfpmmulgsum2 21401* | Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) & ⊢ + = (+g‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − (((𝑖 + 1) ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayhamlem1 21402* | Lemma 1 for cayleyhamilton 21426. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)))) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In this section, a direct algebraic proof for the Cayley-Hamilton theorem is
provided, according to Wikipedia ("Cayley-Hamilton theorem", 09-Nov-2019,
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem, section
"A direct algebraic proof" (this approach is also used for proving Lemma 1.9 in
[Hefferon] p. 427):
Using this notation, we have:
Following the proof shown in Wikipedia, the following steps are performed:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadurid 21403 | The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 21181) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 )) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidgsum 21404* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidgsumm2pm 21405* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum with a matrix to polynomial matrix transformation. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmatlem1 21406* | Lemma 1 for cpmidpmat 21409. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ⇒ ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmatlem2 21407* | Lemma 2 for cpmidpmat 21409. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmatlem3 21408* | Lemma 3 for cpmidpmat 21409. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidpmat 21409* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as polynomial over the ring of matrices. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) & ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑍 = (var1‘𝐴) & ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumlemB 21410* | Lemma B for cpmadugsum 21414. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumlemC 21411* | Lemma C for cpmadugsum 21414. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumlemF 21412* | Lemma F for cpmadugsum 21414. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsumfi 21413* | The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as finite sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadugsum 21414* | The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidgsum2 21415* | Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as another group sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 ) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmidg2sum 21416* | Equality of two sums representing the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ + = (+g‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑖)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadumatpolylem1 21417* | Lemma 1 for cpmadumatpoly 21419. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadumatpolylem2 21418* | Lemma 2 for cpmadumatpoly 21419. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cpmadumatpoly 21419* | The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝑌) & ⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) & ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄)) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) & ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayhamlem2 21420 | Lemma for cayhamlem3 21423. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅) & ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 1 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) & ⊢ · = (.r‘𝐴) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐻‘𝐿) ∗ (𝐿 ↑ 𝑀)) = ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chcoeffeqlem 21421* | Lemma for chcoeffeq 21422. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((Poly1‘𝐴) Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛))( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝐴))(𝑛(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐴)))(var1‘𝐴))))) = ((Poly1‘𝐴) Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )( ·𝑠 ‘(Poly1‘𝐴))(𝑛(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐴)))(var1‘𝐴))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | chcoeffeq 21422* | The coefficients of the characteristic polynomial multiplied with the identity matrix represented by (transformed) ring elements obtained from the adjunct of the characteristic matrix. (Contributed by AV, 21-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 8-Dec-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayhamlem3 21423* | Lemma for cayhamlem4 21424. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) & ⊢ · = (.r‘𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayhamlem4 21424* | Lemma for cayleyhamilton 21426. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 0 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 1 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝑈‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛𝐸(𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑛)))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayleyhamilton0 21425* | The Cayley-Hamilton theorem: A matrix over a commutative ring "satisfies its own characteristic equation". This version of cayleyhamilton 21426 provides definitions not used in the theorem itself, but in its proof to make it clearer, more readable and shorter compared with a proof without them (see cayleyhamiltonALT 21427)! (Contributed by AV, 25-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 0 = (0g‘𝐴) & ⊢ 1 = (1r‘𝐴) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (coe1‘(𝐶‘𝑀)) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃) & ⊢ × = (.r‘𝑌) & ⊢ − = (-g‘𝑌) & ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑌) & ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑌)) & ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅) & ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, (𝑍 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 𝑍, ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) & ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayleyhamilton 21426* | The Cayley-Hamilton theorem: A matrix over a commutative ring "satisfies its own characteristic equation", see theorem 7.8 in [Roman] p. 170 (without proof!), or theorem 3.1 in [Lang] p. 561. In other words, a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial results in zero. This is Metamath 100 proof #49. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 0 = (0g‘𝐴) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (coe1‘(𝐶‘𝑀)) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayleyhamiltonALT 21427* | Alternate proof of cayleyhamilton 21426, the Cayley-Hamilton theorem. This proof does not use cayleyhamilton0 21425 directly, but has the same structure as the proof of cayleyhamilton0 21425. In contrast to the proof of cayleyhamilton0 21425, only the definitions required to formulate the theorem itself are used, causing the definitions used in the lemmas being expanded, which makes the proof longer and more difficult to read. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 0 = (0g‘𝐴) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (coe1‘(𝐶‘𝑀)) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) ⇒ ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐾‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = 0 ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | cayleyhamilton1 21428* | The Cayley-Hamilton theorem: A matrix over a commutative ring "satisfies its own characteristic equation", or, in other words, a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial results in zero. In this variant of cayleyhamilton 21426, the meaning of "inserted" is made more transparent: If the characteristic polynomial is a polynomial with coefficients (𝐹‘𝑛), then a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial is the sum of these coefficients multiplied with the corresponding power of the matrix. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅) & ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴) & ⊢ 0 = (0g‘𝐴) & ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅) & ⊢ 𝐾 = (coe1‘(𝐶‘𝑀)) & ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴) & ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴)) & ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑅) & ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅) & ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) & ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃) & ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃)) & ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅) ⇒ ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝐿 ↑m ℕ0) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍)) → ((𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑛) · (𝑛𝐸𝑋)))) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = 0 )) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A topology on a set is a set of subsets of that set, called open sets, which satisfy certain conditions. One condition is that the whole set be an open set. Therefore, a set is recoverable from a topology on it (as its union, see toponuni 21450), and it may sometimes be more convenient to consider topologies without reference to the underlying set. This is why we define successively the class of topologies (df-top 21430), then the function which associates with a set the set of topologies on it (df-topon 21447), and finally the class of topological spaces, as extensible structures having an underlying set and a topology on it (df-topsp 21469). Of course, a topology is the same thing as a topology on a set (see toprntopon 21461). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ctop 21429 | Syntax for the class of topologies. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class Top | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-top 21430* |
Define the class of topologies. It is a proper class (see topnex 21532).
See istopg 21431 and istop2g 21432 for the corresponding characterizations,
using respectively binary intersections like in this definition and
nonempty finite intersections.
The final form of the definition is due to Bourbaki (Def. 1 of [BourbakiTop1] p. I.1), while the idea of defining a topology in terms of its open sets is due to Aleksandrov. For the convoluted history of the definitions of these notions, see Gregory H. Moore, The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology, Historia Mathematica 35 (2008) 220--241. (Contributed by NM, 3-Mar-2006.) (Revised by BJ, 20-Oct-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Top = {𝑥 ∣ (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑥∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦 ∩ 𝑧) ∈ 𝑥)} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | istopg 21431* |
Express the predicate "𝐽 is a topology". See istop2g 21432 for another
characterization using nonempty finite intersections instead of binary
intersections.
Note: In the literature, a topology is often represented by a calligraphic letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors (e.g., K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114) and it is convenient for us since we later use 𝑇 to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ 𝐴 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐽))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | istop2g 21432* | Express the predicate "𝐽 is a topology" using nonempty finite intersections instead of binary intersections as in istopg 21431. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ 𝐴 → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | uniopn 21433 | The union of a subset of a topology (that is, the union of any family of open sets of a topology) is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iunopn 21434* | The indexed union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | inopn 21435 | The intersection of two open sets of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fitop 21436 | A topology is closed under finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fiinopn 21437 | The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iinopn 21438* | The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | unopn 21439 | The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 0opn 21440 | The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 0ntop 21441 | The empty set is not a topology. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ¬ ∅ ∈ Top | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topopn 21442 | The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 ⇒ ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltopss 21443 | A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 ⇒ ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | riinopn 21444* | A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 ⇒ ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | rintopn 21445 | A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 ⇒ ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑋 ∩ ∩ 𝐴) ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ctopon 21446 | Syntax for the function of topologies on sets. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class TopOn | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-topon 21447* | Define the function that associates with a set the set of topologies on it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ TopOn = (𝑏 ∈ V ↦ {𝑗 ∈ Top ∣ 𝑏 = ∪ 𝑗}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | istopon 21448 | Property of being a topology with a given base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topontop 21449 | A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponuni 21450 | The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topontopi 21451 | A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ⇒ ⊢ 𝐽 ∈ Top | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponunii 21452 | The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ⇒ ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐽 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toptopon 21453 | Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 ⇒ ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toptopon2 21454 | A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topontopon 21455 | A topology on a set is a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | funtopon 21456 | The class TopOn is a function. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Fun TopOn | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponrestid 21457 | Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) ⇒ ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponsspwpw 21458 | The set of topologies on a set is included in the double power set of that set. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (TopOn‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐴 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | dmtopon 21459 | The domain of TopOn is V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ dom TopOn = V | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fntopon 21460 | The class TopOn is a function with domain V. Analogue for topologies of fnmre 16850 for Moore collections. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ TopOn Fn V | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toprntopon 21461 | A topology is the same thing as a topology on a set (variable-free version). (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Top = ∪ ran TopOn | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponmax 21462 | The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponss 21463 | A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponcom 21464 | If 𝐾 is a topology on the base set of topology 𝐽, then 𝐽 is a topology on the base of 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | toponcomb 21465 | Biconditional form of toponcom 21464. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topgele 21466 | The topologies over the same set have the greatest element (the discrete topology) and the least element (the indiscrete topology). (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topsn 21467 | The only topology on a singleton is the discrete topology (which is also the indiscrete topology by pwsn 4822). (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘{𝐴}) → 𝐽 = 𝒫 {𝐴}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ctps 21468 | Syntax for the class of topological spaces. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class TopSp | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-topsp 21469 | Define the class of topological spaces (as extensible structures). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ TopSp = {𝑓 ∣ (TopOpen‘𝑓) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑓))} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | istps 21470 | Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾) & ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾) ⇒ ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | istps2 21471 | Express the predicate "is a topological space." (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾) & ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾) ⇒ ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tpsuni 21472 | The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾) & ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾) ⇒ ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tpstop 21473 | The topology extractor on a topological space is a topology. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾) ⇒ ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tpspropd 21474 | A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)) & ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿)) ⇒ ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tpsprop2d 21475 | A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)) & ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐿)) ⇒ ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | topontopn 21476 | Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾) & ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾) ⇒ ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tsettps 21477 | If the topology component is already correctly truncated, then it forms a topological space (with the topology extractor function coming out the same as the component). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾) & ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾) ⇒ ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | istpsi 21478 | Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴 & ⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽 & ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽 & ⊢ 𝐽 ∈ Top ⇒ ⊢ 𝐾 ∈ TopSp | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltpsg 21479 | Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐾 = {〈(Base‘ndx), 𝐴〉, 〈(TopSet‘ndx), 𝐽〉} ⇒ ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltpsi 21480 | Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐾 = {〈(Base‘ndx), 𝐴〉, 〈(TopSet‘ndx), 𝐽〉} & ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽 & ⊢ 𝐽 ∈ Top ⇒ ⊢ 𝐾 ∈ TopSp | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Syntax | ctb 21481 | Syntax for the class of topological bases. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class TopBases | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-bases 21482* | Define the class of topological bases. Equivalent to definition of basis in [Munkres] p. 78 (see isbasis2g 21484). Note that "bases" is the plural of "basis". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ TopBases = {𝑥 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦 ∩ 𝑧) ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 (𝑦 ∩ 𝑧))} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | isbasisg 21483* | Express the predicate "the set 𝐵 is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | isbasis2g 21484* | Express the predicate "the set 𝐵 is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | isbasis3g 21485* | Express the predicate "the set 𝐵 is a basis for a topology". Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ TopBases ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basis1 21486 | Property of a basis. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∩ 𝐷) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝐶 ∩ 𝐷))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basis2 21487* | Property of a basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷))) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐶 ∩ 𝐷))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fiinbas 21488* | If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ TopBases) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | basdif0 21489 | A basis is not affected by the addition or removal of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐵 ∖ {∅}) ∈ TopBases ↔ 𝐵 ∈ TopBases) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | baspartn 21490* | A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (𝑥 = 𝑦 ∨ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)) → 𝑃 ∈ TopBases) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tgval 21491* | The topology generated by a basis. See also tgval2 21492 and tgval3 21499. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tgval2 21492* | Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 21505) that (topGen‘𝐵) is indeed a topology (on ∪ 𝐵, see unitg 21503). See also tgval 21491 and tgval3 21499. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥))}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltg 21493 | Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltg2 21494* | Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltg2b 21495* | Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltg4i 21496 | An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltg3i 21497 | The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | eltg3 21498* | Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tgval3 21499* | Alternate expression for the topology generated by a basis. Lemma 2.1 of [Munkres] p. 80. See also tgval 21491 and tgval2 21492. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | tg1 21500 | Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |