Theorem lply1binomsc 22301

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
lply1binomsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lply1binomsc	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lply1binomsc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		crngring 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		cply1binom.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
8	4	ply1lmod 22240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
10	9	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	1, 2, 7, 10, 11, 12	asclf 21860	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14		lply1binomsc.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	4	ply1sca 22241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16	15	3ad2ant1 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
17	16	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18	14, 17	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
19	18	feq2d 6643	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
20	13, 19	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21		simp3 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
22	20, 21	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23		cply1binom.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24		cply1binom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
25		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
26		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
27		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	4, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12	lply1binom 22300	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
30	22, 29	syld3an3 1418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	4	ply1assa 22188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32	31	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
33	32	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34		fznn0sub 13505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
36	15	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	14, 36	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
39	38	biimpa 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	3adant2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
41	40	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
43	12, 42	ringidcl 20241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45	44	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
46	45	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
48		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
50	12, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28	assamulgscm 21880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
51	33, 35, 41, 46, 50	syl13anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
52		lply1binomsc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
53		lply1binomsc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
54	15	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
55	53, 54	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
56	55	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.g‘𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
57	52, 56	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58	57	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
59	58	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
60	59	eqcomd 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
61	60	oveqd 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴))
62	27	ringmgp 20215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
63	6, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64	63	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65	27, 12	mgpbas 20121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
66	27, 42	ringidval 20159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝐺)
67	65, 28, 66	mulgnn0z 19072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
68	64, 34, 67	syl2an 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
69	61, 68	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
70	51, 69	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
71	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
72	41, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
73	72	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))))
74		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
75	53	ringmgp 20215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
76	3, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77	76	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
78	77	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
80	53, 14	mgpbas 20121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐻)
81	79, 80	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82	81	3adant2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
83	82	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
84	74, 52, 78, 35, 83	mulgnn0cld 19066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
85	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
86	85	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
87	86	fveq2d 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
89	53, 88	mgpbas 20121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
90	87, 89	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	84, 90	eleqtrrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
94	70, 73, 93	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)))
95	94	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))
96	95	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))
97	96	mpteq2dva 5168	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))))
98	97	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
99	30, 98	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  Ccbc 14259  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19038  mulGrpcmgp 20116  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  LModclmod 20854  AssAlgcasa 21829  algSccascl 21831  var₁cv1 22165  Poly₁cpl1 22166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-srg 20163  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-assa 21832  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-mvr 21889  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22831