MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binomsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binomsc 22315
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
lply1binomsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
lply1binomsc ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc
StepHypRef Expression
1 lply1binomsc.s . . . . . 6 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3 crngring 20242 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 cply1binom.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 22249 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
763ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
84ply1lmod 22253 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
1093ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
131, 2, 7, 10, 11, 12asclf 21902 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14 lply1binomsc.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
154ply1sca 22254 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1716fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1814, 17eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1918feq2d 6722 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
2013, 19mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21 simp3 1139 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
2220, 21ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑆𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23 cply1binom.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
24 cply1binom.a . . . 4 + = (+g𝑃)
25 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
26 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
27 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
294, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12lply1binom 22314 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
3022, 29syld3an3 1411 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
314ply1assa 22201 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34 fznn0sub 13596 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
3615fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3714, 36eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3837eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝐴𝐾𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
3938biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40393adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑃) = (1r𝑃)
4312, 42ringidcl 20262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
446, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
48 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5012, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28assamulgscm 21921 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))))
5133, 35, 41, 46, 50syl13anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))))
52 lply1binomsc.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (.g𝐻)
53 lply1binomsc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
5415fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5553, 54eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5655fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → (.g𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
5752, 56eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58573ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
6059eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
6160oveqd 7448 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁𝑘)𝐸𝐴))
6227ringmgp 20236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
636, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
6527, 12mgpbas 20142 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6627, 42ringidval 20180 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑃) = (0g𝐺)
6765, 28, 66mulgnn0z 19119 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘) (1r𝑃)) = (1r𝑃))
6864, 34, 67syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (1r𝑃)) = (1r𝑃))
6961, 68oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7051, 69eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
711, 2, 11, 47, 42asclval 21900 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆𝐴) = (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7241, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆𝐴) = (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7372oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) = ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))))
74 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7553ringmgp 20236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
763, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
8053, 14mgpbas 20142 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐻)
8179, 80eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82813adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
8474, 52, 78, 35, 83mulgnn0cld 19113 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
8516adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8685eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8786fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8953, 88mgpbas 20142 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
9087, 89eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9184, 90eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
921, 2, 11, 47, 42asclval 21900 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
9470, 73, 933eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) = (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)))
9594oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋)))
9695oveq2d 7447 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))
9796mpteq2dva 5242 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋)))))
9897oveq2d 7447 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
9930, 98eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cmin 11492  0cn0 12526  ...cfz 13547  Ccbc 14341  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  LModclmod 20858  AssAlgcasa 21870  algSccascl 21872  var1cv1 22177  Poly1cpl1 22178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-assa 21873  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183
This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22850
  Copyright terms: Public domain W3C validator