Theorem lply1binomsc 21822

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
lply1binomsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lply1binomsc	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lply1binomsc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		crngring 20061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		cply1binom.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 21761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
8	4	ply1lmod 21765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	1, 2, 7, 10, 11, 12	asclf 21427	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14		lply1binomsc.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	4	ply1sca 21766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
17	16	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18	14, 17	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
19	18	feq2d 6700	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
20	13, 19	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
22	20, 21	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23		cply1binom.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24		cply1binom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
25		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
26		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
27		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	4, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12	lply1binom 21821	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
30	22, 29	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	4	ply1assa 21714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34		fznn0sub 13529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
36	15	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	14, 36	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
39	38	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	3adant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
43	12, 42	ringidcl 20076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
48		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
50	12, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28	assamulgscm 21446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
51	33, 35, 41, 46, 50	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
52		lply1binomsc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
53		lply1binomsc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
54	15	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
55	53, 54	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
56	55	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.g‘𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
57	52, 56	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58	57	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
60	59	eqcomd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
61	60	oveqd 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴))
62	27	ringmgp 20055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
63	6, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65	27, 12	mgpbas 19987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
66	27, 42	ringidval 20000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝐺)
67	65, 28, 66	mulgnn0z 18975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
68	64, 34, 67	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
69	61, 68	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
70	51, 69	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
71	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
72	41, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
73	72	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))))
74		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
75	53	ringmgp 20055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
76	3, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
80	53, 14	mgpbas 19987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐻)
81	79, 80	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82	81	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
84	74, 52, 78, 35, 83	mulgnn0cld 18969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
85	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
86	85	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
87	86	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
89	53, 88	mgpbas 19987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
90	87, 89	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	84, 90	eleqtrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
94	70, 73, 93	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)))
95	94	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))
96	95	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))
97	96	mpteq2dva 5247	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))))
98	97	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
99	30, 98	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  Ccbc 14258  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197   Σ_g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  AssAlgcasa 21396  algSccascl 21398  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-assa 21399  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22337