Theorem lply1binomsc 22205

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
lply1binomsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lply1binomsc	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lply1binomsc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		crngring 20161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		cply1binom.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
8	4	ply1lmod 22143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	1, 2, 7, 10, 11, 12	asclf 21798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14		lply1binomsc.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	4	ply1sca 22144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
17	16	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18	14, 17	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
19	18	feq2d 6675	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
20	13, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
22	20, 21	ffvelcdmd 7060	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23		cply1binom.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24		cply1binom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
25		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
26		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
27		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	4, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12	lply1binom 22204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
30	22, 29	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	4	ply1assa 22091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34		fznn0sub 13524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
36	15	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	14, 36	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	3adant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
43	12, 42	ringidcl 20181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
48		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
50	12, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28	assamulgscm 21817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
51	33, 35, 41, 46, 50	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
52		lply1binomsc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
53		lply1binomsc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
54	15	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
55	53, 54	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
56	55	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.g‘𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
57	52, 56	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58	57	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
60	59	eqcomd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
61	60	oveqd 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴))
62	27	ringmgp 20155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
63	6, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65	27, 12	mgpbas 20061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
66	27, 42	ringidval 20099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝐺)
67	65, 28, 66	mulgnn0z 19040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
68	64, 34, 67	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
69	61, 68	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
70	51, 69	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
71	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
72	41, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
73	72	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))))
74		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
75	53	ringmgp 20155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
76	3, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
80	53, 14	mgpbas 20061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐻)
81	79, 80	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82	81	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
84	74, 52, 78, 35, 83	mulgnn0cld 19034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
85	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
86	85	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
87	86	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
89	53, 88	mgpbas 20061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
90	87, 89	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	84, 90	eleqtrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
94	70, 73, 93	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)))
95	94	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))
96	95	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))
97	96	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))))
98	97	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
99	30, 98	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  Ccbc 14274  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  LModclmod 20773  AssAlgcasa 21766  algSccascl 21768  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-assa 21769  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22738