MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binomsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binomsc 22217
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from π‘˜ = 0 to 𝑁 of (𝑁Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cply1binom.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
cply1binom.a + = (+gβ€˜π‘ƒ)
cply1binom.m Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
cply1binom.t Β· = (.gβ€˜π‘ƒ)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
cply1binom.e ↑ = (.gβ€˜πΊ)
lply1binomsc.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
lply1binomsc.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
lply1binomsc.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
lply1binomsc.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
lply1binomsc ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝑁 ↑ (𝑋 + (π‘†β€˜π΄))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋   Γ— ,π‘˜   Β· ,π‘˜   ↑ ,π‘˜   + ,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘˜)

Proof of Theorem lply1binomsc
StepHypRef Expression
1 lply1binomsc.s . . . . . 6 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
3 crngring 20176 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 cply1binom.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
54ply1ring 22153 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
763ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
84ply1lmod 22157 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1093ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
11 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
12 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
131, 2, 7, 10, 11, 12asclf 21802 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑆:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
14 lply1binomsc.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
154ply1sca 22158 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
16153ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
1716fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
1814, 17eqtrid 2779 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
1918feq2d 6702 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝑆:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑆:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢(Baseβ€˜π‘ƒ)))
2013, 19mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑆:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
21 simp3 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
2220, 21ffvelcdmd 7089 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
23 cply1binom.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
24 cply1binom.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ƒ)
25 cply1binom.m . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
26 cply1binom.t . . . 4 Β· = (.gβ€˜π‘ƒ)
27 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
28 cply1binom.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
294, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12lply1binom 22216 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑁 ↑ (𝑋 + (π‘†β€˜π΄))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· (((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
3022, 29syld3an3 1407 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝑁 ↑ (𝑋 + (π‘†β€˜π΄))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· (((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
314ply1assa 22105 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
34 fznn0sub 13557 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
3615fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3714, 36eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3837eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
3938biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
40393adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
42 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4312, 42ringidcl 20191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
446, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
45443ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
47 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
48 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
49 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5012, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28assamulgscm 21821 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (𝐴( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑁 βˆ’ π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (1rβ€˜π‘ƒ))))
5133, 35, 41, 46, 50syl13anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (𝐴( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑁 βˆ’ π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (1rβ€˜π‘ƒ))))
52 lply1binomsc.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (.gβ€˜π»)
53 lply1binomsc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
5415fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5553, 54eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐻 = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5655fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ (.gβ€˜π») = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
5752, 56eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
58573ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
6059eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) = 𝐸)
6160oveqd 7431 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))𝐴) = ((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴))
6227ringmgp 20170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
636, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
64633ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6527, 12mgpbas 20071 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
6627, 42ringidval 20114 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜πΊ)
6765, 28, 66mulgnn0z 19047 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (1rβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
6864, 34, 67syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (1rβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
6961, 68oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (1rβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
7051, 69eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (𝐴( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
711, 2, 11, 47, 42asclval 21800 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘†β€˜π΄) = (𝐴( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
7241, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘†β€˜π΄) = (𝐴( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
7372oveq2d 7430 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) = ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (𝐴( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ))))
74 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
7553ringmgp 20170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
763, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
77763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8053, 14mgpbas 20071 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜π»)
8179, 80eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π»))
82813adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π»))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π»))
8474, 52, 78, 35, 83mulgnn0cld 19041 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴) ∈ (Baseβ€˜π»))
8516adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8685eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
8786fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
88 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8953, 88mgpbas 20071 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π»)
9087, 89eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π»))
9184, 90eleqtrrd 2831 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
921, 2, 11, 47, 42asclval 21800 . . . . . . . 8 (((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) = (((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) = (((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
9470, 73, 933eqtr4d 2777 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) = (π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)))
9594oveq1d 7429 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
9695oveq2d 7430 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· (((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))
9796mpteq2dva 5242 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· (((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
9897oveq2d 7430 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· (((𝑁 βˆ’ π‘˜) ↑ (π‘†β€˜π΄)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
9930, 98eqtrd 2767 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝑁 ↑ (𝑋 + (π‘†β€˜π΄))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((π‘†β€˜((𝑁 βˆ’ π‘˜)𝐸𝐴)) Γ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130   βˆ’ cmin 11466  β„•0cn0 12494  ...cfz 13508  Ccbc 14285  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228   Ξ£g cgsu 17413  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  LModclmod 20732  AssAlgcasa 21771  algSccascl 21773  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-assa 21774  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088
This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22733
  Copyright terms: Public domain W3C validator