Theorem lply1binomsc 22656

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
lply1binomsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lply1binomsc	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lply1binomsc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		crngring 20499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		cply1binom.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
8	4	ply1lmod 22596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	1, 2, 7, 10, 11, 12	asclf 22216	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14		lply1binomsc.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	4	ply1sca 22597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
17	16	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18	14, 17	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
19	18	feq2d 6712	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
20	13, 19	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
22	20, 21	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23		cply1binom.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24		cply1binom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
25		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
26		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
27		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	4, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12	lply1binom 22655	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
30	22, 29	syld3an3 1437	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	4	ply1assa 22544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34		fznn0sub 13714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
36	15	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	14, 36	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
39	38	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
43	12, 42	ringidcl 20521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
48		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
50	12, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28	assamulgscm 22236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
51	33, 35, 41, 46, 50	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
52		lply1binomsc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
53		lply1binomsc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
54	15	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
55	53, 54	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
56	55	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.g‘𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
57	52, 56	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58	57	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
60	59	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
61	60	oveqd 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴))
62	27	ringmgp 20492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
63	6, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64	63	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65	27, 12	mgpbas 20392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
66	27, 42	ringidval 20436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝐺)
67	65, 28, 66	mulgnn0z 19337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
68	64, 34, 67	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
69	61, 68	oveq12d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
70	51, 69	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
71	1, 2, 11, 47, 42	asclval 22214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
72	41, 71	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
73	72	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))))
74		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
75	53	ringmgp 20492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
76	3, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77	76	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
80	53, 14	mgpbas 20392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐻)
81	79, 80	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82	81	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
84	74, 52, 78, 35, 83	mulgnn0cld 19331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
85	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
86	85	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
87	86	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
89	53, 88	mgpbas 20392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
90	87, 89	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	84, 90	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	1, 2, 11, 47, 42	asclval 22214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
93	91, 92	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
94	70, 73, 93	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)))
95	94	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))
96	95	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))
97	96	mpteq2dva 5201	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))))
98	97	oveq2d 7456	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
99	30, 98	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224   − cmin 11565  ℕ₀cn0 12630  ...cfz 13663  Ccbc 14470  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458   Σ_g cgsu 17637  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  LModclmod 21162  AssAlgcasa 22185  algSccascl 22187  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-assa 22188  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527

This theorem is used by:  chpscmatgsumbin  23189