Theorem lply1binomsc 22234

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
lply1binomsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lply1binomsc	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lply1binomsc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		crngring 20184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		cply1binom.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
8	4	ply1lmod 22174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
10	9	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	1, 2, 7, 10, 11, 12	asclf 21814	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14		lply1binomsc.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	4	ply1sca 22175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
17	16	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18	14, 17	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
19	18	feq2d 6703	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
20	13, 19	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
22	20, 21	ffvelcdmd 7088	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23		cply1binom.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24		cply1binom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
25		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
26		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
27		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
29	4, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12	lply1binom 22233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
30	22, 29	syld3an3 1406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	4	ply1assa 22122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32	31	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
33	32	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34		fznn0sub 13560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0)
36	15	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	14, 36	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	eleq2d 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐴 ∈ 𝐾 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
39	38	biimpa 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40	39	3adant2 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
41	40	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
43	12, 42	ringidcl 20201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45	44	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
46	45	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
48		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
50	12, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28	assamulgscm 21833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
51	33, 35, 41, 46, 50	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))))
52		lply1binomsc.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
53		lply1binomsc.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
54	15	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
55	53, 54	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
56	55	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (.g‘𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
57	52, 56	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58	57	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
59	58	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
60	59	eqcomd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
61	60	oveqd 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴))
62	27	ringmgp 20178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
63	6, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64	63	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
65	27, 12	mgpbas 20079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
66	27, 42	ringidval 20122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝐺)
67	65, 28, 66	mulgnn0z 19055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
68	64, 34, 67	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
69	61, 68	oveq12d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)((𝑁 − 𝑘) ↑ (1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
70	51, 69	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
71	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
72	41, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘𝐴) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
73	72	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃))))
74		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
75	53	ringmgp 20178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
76	3, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77	76	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
78	77	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
80	53, 14	mgpbas 20079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐻)
81	79, 80	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82	81	3adant2 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
83	82	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
84	74, 52, 78, 35, 83	mulgnn0cld 19049	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
85	16	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
86	85	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
87	86	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
89	53, 88	mgpbas 20079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
90	87, 89	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	84, 90	eleqtrrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	1, 2, 11, 47, 42	asclval 21812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
94	70, 73, 93	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) = (𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)))
95	94	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))
96	95	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))
97	96	mpteq2dva 5244	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋)))))
98	97	oveq2d 7429	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ (𝑆‘𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
99	30, 98	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑁 ↑ (𝑋 + (𝑆‘𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁 − 𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5227  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133   − cmin 11469  ℕ₀cn0 12497  ...cfz 13511  Ccbc 14288  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231   Σ_g cgsu 17416  Mndcmnd 18688  ._gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  LModclmod 20742  AssAlgcasa 21783  algSccascl 21785  var₁cv1 22098  Poly₁cpl1 22099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-assa 21786  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22759