MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binomsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lply1binomsc 22331
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings, expressed by an element of this ring: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝑋𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cply1binom.x 𝑋 = (var1𝑅)
cply1binom.a + = (+g𝑃)
cply1binom.m × = (.r𝑃)
cply1binom.t · = (.g𝑃)
cply1binom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e = (.g𝐺)
lply1binomsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lply1binomsc.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
lply1binomsc.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
lply1binomsc.e 𝐸 = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
lply1binomsc ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)

Proof of Theorem lply1binomsc
StepHypRef Expression
1 lply1binomsc.s . . . . . 6 𝑆 = (algSc‘𝑃)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3 crngring 20263 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 cply1binom.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 22265 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
763ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ Ring)
84ply1lmod 22269 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ LMod)
11 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
131, 2, 7, 10, 11, 12asclf 21920 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
14 lply1binomsc.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
154ply1sca 22270 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
16153ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1716fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1814, 17eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1918feq2d 6723 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃) ↔ 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃)))
2013, 19mpbird 257 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑆:𝐾⟶(Base‘𝑃))
21 simp3 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
2220, 21ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑆𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23 cply1binom.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
24 cply1binom.a . . . 4 + = (+g𝑃)
25 cply1binom.m . . . 4 × = (.r𝑃)
26 cply1binom.t . . . 4 · = (.g𝑃)
27 cply1binom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
28 cply1binom.e . . . 4 = (.g𝐺)
294, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 12lply1binom 22330 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆𝐴) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
3022, 29syld3an3 1408 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
314ply1assa 22217 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
32313ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑃 ∈ AssAlg)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ AssAlg)
34 fznn0sub 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
3615fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3714, 36eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3837eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝐴𝐾𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
3938biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
40393adant2 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑃) = (1r𝑃)
4312, 42ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
446, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
45443ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
47 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
48 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃))
49 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5012, 2, 11, 47, 48, 49, 27, 28assamulgscm 21939 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))))
5133, 35, 41, 46, 50syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))))
52 lply1binomsc.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (.g𝐻)
53 lply1binomsc.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
5415fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5553, 54eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 = (mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))
5655fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → (.g𝐻) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
5752, 56eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
58573ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))))
6059eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃))) = 𝐸)
6160oveqd 7448 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴) = ((𝑁𝑘)𝐸𝐴))
6227ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
636, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
64633ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
6527, 12mgpbas 20158 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6627, 42ringidval 20201 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑃) = (0g𝐺)
6765, 28, 66mulgnn0z 19132 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘) (1r𝑃)) = (1r𝑃))
6864, 34, 67syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (1r𝑃)) = (1r𝑃))
6961, 68oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘𝑃)))𝐴)( ·𝑠𝑃)((𝑁𝑘) (1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7051, 69eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
711, 2, 11, 47, 42asclval 21918 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆𝐴) = (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7241, 71syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆𝐴) = (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
7372oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) = ((𝑁𝑘) (𝐴( ·𝑠𝑃)(1r𝑃))))
74 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7553ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
763, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝐻 ∈ Mnd)
77763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐻 ∈ Mnd)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 ∈ Mnd)
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
8053, 14mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐻)
8179, 80eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
82813adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
8474, 52, 78, 35, 83mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘𝐻))
8516adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8685eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
8786fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
88 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8953, 88mgpbas 20158 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
9087, 89eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9184, 90eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
921, 2, 11, 47, 42asclval 21918 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑘)𝐸𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) = (((𝑁𝑘)𝐸𝐴)( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
9470, 73, 933eqtr4d 2785 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) = (𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)))
9594oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋)) = ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋)))
9695oveq2d 7447 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))
9796mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋)))))
9897oveq2d 7447 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) (𝑆𝐴)) × (𝑘 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
9930, 98eqtrd 2775 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝑁 (𝑋 + (𝑆𝐴))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((𝑆‘((𝑁𝑘)𝐸𝐴)) × (𝑘 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cmin 11490  0cn0 12524  ...cfz 13544  Ccbc 14338  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  LModclmod 20875  AssAlgcasa 21888  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-assa 21891  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199
This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22866
  Copyright terms: Public domain W3C validator