Theorem ascl1 21934

Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Proof of Theorem ascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20932	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
6	4, 5	ringidcl 20311	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
7		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
10	7, 2, 4, 8, 9	asclval 21928	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
11	1, 3, 6, 10	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
12		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14	13, 9	ringidcl 20311	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	13, 2, 8, 5	lmodvs1 20954	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
17	1, 15, 16	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
18	11, 17	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  1_rcur 20227  Ringcrg 20279  LModclmod 20924  algSccascl 21901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mgp 20187  df-ur 20228  df-ring 20281  df-lmod 20926  df-ascl 21904

This theorem is referenced by:  asclrhm  21939  mplascl1  22075  mhppwdeg  22212  ply1ascl1  22314  ply1scl1  22352  aks5lem2  42801  assaascl1  49001