MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ascl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ascl1 21304
Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ascl0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
ascl0.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ascl0.l (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ascl0.r (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
ascl1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem ascl1
StepHypRef Expression
1 ascl0.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 ascl0.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 20344 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
75, 6ringidcl 19994 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
84, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
9 ascl0.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
129, 2, 5, 10, 11asclval 21299 . . 3 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
138, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
14 ascl0.r . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
15 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1615, 11ringidcl 19994 . . . 4 (π‘Š ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1714, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1815, 2, 10, 6lmodvs1 20365 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜π‘Š))
191, 17, 18syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜π‘Š))
2013, 19eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  algSccascl 21274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-ascl 21277
This theorem is referenced by:  asclrhm  21309  mhppwdeg  21556  assaascl1  46547
  Copyright terms: Public domain W3C validator