Theorem ascl1 21822

Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Proof of Theorem ascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20801	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
6	4, 5	ringidcl 20183	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
7		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
10	7, 2, 4, 8, 9	asclval 21817	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
11	1, 3, 6, 10	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
12		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14	13, 9	ringidcl 20183	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	13, 2, 8, 5	lmodvs1 20823	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
17	1, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
18	11, 17	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  LModclmod 20793  algSccascl 21789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-ascl 21792

This theorem is referenced by:  asclrhm  21827  mhppwdeg  22065  ply1ascl1  22168  ply1scl1  22207  aks5lem2  42228  mplascl1  42596  assaascl1  48421