MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ascl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ascl1 21817
Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ascl0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
ascl0.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ascl0.l (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ascl0.r (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
ascl1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem ascl1
StepHypRef Expression
1 ascl0.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 ascl0.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 20750 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
75, 6ringidcl 20201 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
84, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
9 ascl0.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
10 eqid 2728 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 eqid 2728 . . . 4 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
129, 2, 5, 10, 11asclval 21812 . . 3 ((1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
138, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
14 ascl0.r . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
15 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1615, 11ringidcl 20201 . . . 4 (π‘Š ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1714, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1815, 2, 10, 6lmodvs1 20772 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜π‘Š))
191, 17, 18syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜π‘Š))
2013, 19eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  1rcur 20120  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  algSccascl 21785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-ascl 21788
This theorem is referenced by:  asclrhm  21822  mhppwdeg  22073  ply1scl1  22211  ply1ascl1  33252  mplascl1  41788  assaascl1  47449
  Copyright terms: Public domain W3C validator