Theorem ascl1 22101

Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

Proof of Theorem ascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 21053	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
6	4, 5	ringidcl 20407	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
7		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
10	7, 2, 4, 8, 9	asclval 22095	. . 3 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
11	1, 3, 6, 10	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
12		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14	13, 9	ringidcl 20407	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	13, 2, 8, 5	lmodvs1 21075	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
17	1, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
18	11, 17	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝐹)) = (1r‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  algSccascl 22068

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047  df-ascl 22071

This theorem is used by:  asclrhm  22106  mplascl1  22242  mhppwdeg  22379  ply1ascl1  22481  ply1scl1  22519  aks5lem2  43054  assaascl1  49313