Theorem ply1sclrmsm 48498

Description: The ring multiplication of a polynomial with a scalar polynomial is equal to the scalar multiplication of the polynomial with the corresponding scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1sclrmsm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclrmsm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1sclrmsm.b	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
ply1sclrmsm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1sclrmsm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1sclrmsm.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1sclrmsm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1sclrmsm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1sclrmsm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclrmsm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Proof of Theorem ply1sclrmsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1sclrmsm.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		ply1sclrmsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
7	6	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8		ply1sclrmsm.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
10		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		ply1sclrmsm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	asclval 21827	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
16	15	oveq1d 7370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍))
17		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
18	1	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
19	18	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
21	2	ply1ring 22170	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		ply1sclrmsm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
23	22, 12	ringidcl 20193	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
25	24	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
26		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝐸)
27		ply1sclrmsm.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
28		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	2, 27, 22, 28, 11	ply1ass23l 22149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝐸 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
30	17, 20, 25, 26, 29	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
31	22, 27, 12	ringlidm 20197	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
32	21, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
33	32	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
34	33	oveq2d 7371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)) = (𝐹 · 𝑍))
35	16, 30, 34	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  ._rcmulr 17172  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  ._gcmg 18990  mulGrpcmgp 20068  1_rcur 20109  Ringcrg 20161  algSccascl 21799  var₁cv1 22098  Poly₁cpl1 22099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-sup 9336  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-mhm 18701  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18991  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-subrng 20471  df-subrg 20495  df-ascl 21802  df-psr 21856  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22102  df-ply1 22104

This theorem is referenced by:  coe1sclmulval  48500