Theorem ply1sclrmsm 45724

Description: The ring multiplication of a polynomial with a scalar polynomial is equal to the scalar multiplication of the polynomial with the corresponding scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1sclrmsm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclrmsm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1sclrmsm.b	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
ply1sclrmsm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1sclrmsm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1sclrmsm.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1sclrmsm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1sclrmsm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1sclrmsm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclrmsm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Proof of Theorem ply1sclrmsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1sclrmsm.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		ply1sclrmsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 21424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
7	6	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8		ply1sclrmsm.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		ply1sclrmsm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	asclval 21084	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
15	14	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
16	15	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍))
17		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
18	1	eleq2i 2830	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
19	18	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
21	2	ply1ring 21419	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		ply1sclrmsm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
23	22, 12	ringidcl 19807	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
25	24	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
26		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝐸)
27		ply1sclrmsm.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
28		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	2, 27, 22, 28, 11	ply1ass23l 45723	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝐸 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
30	17, 20, 25, 26, 29	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
31	22, 27, 12	ringlidm 19810	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
32	21, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
33	32	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
34	33	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)) = (𝐹 · 𝑍))
35	16, 30, 34	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  algSccascl 21059  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353

This theorem is referenced by:  coe1sclmulval  45726