Theorem ply1sclrmsm 45397

Description: The ring multiplication of a polynomial with a scalar polynomial is equal to the scalar multiplication of the polynomial with the corresponding scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1sclrmsm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclrmsm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1sclrmsm.b	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
ply1sclrmsm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1sclrmsm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1sclrmsm.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1sclrmsm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1sclrmsm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1sclrmsm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclrmsm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Proof of Theorem ply1sclrmsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1sclrmsm.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		ply1sclrmsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 21174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	syl5eq 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
7	6	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8		ply1sclrmsm.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		ply1sclrmsm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	asclval 20839	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
15	14	3adant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
16	15	oveq1d 7228	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍))
17		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
18	1	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
19	18	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
21	2	ply1ring 21169	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		ply1sclrmsm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
23	22, 12	ringidcl 19586	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
25	24	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
26		simp3 1140	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝐸)
27		ply1sclrmsm.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	2, 27, 22, 28, 11	ply1ass23l 45396	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝐸 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
30	17, 20, 25, 26, 29	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
31	22, 27, 12	ringlidm 19589	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
32	21, 31	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
33	32	3adant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
34	33	oveq2d 7229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)) = (𝐹 · 𝑍))
35	16, 30, 34	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  ._gcmg 18488  mulGrpcmgp 19504  1_rcur 19516  Ringcrg 19562  algSccascl 20814  var₁cv1 21097  Poly₁cpl1 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-ply1 21103

This theorem is referenced by:  coe1sclmulval  45399