Theorem ply1sclrmsm 47153

Description: The ring multiplication of a polynomial with a scalar polynomial is equal to the scalar multiplication of the polynomial with the corresponding scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1sclrmsm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclrmsm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1sclrmsm.b	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
ply1sclrmsm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1sclrmsm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1sclrmsm.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1sclrmsm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1sclrmsm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1sclrmsm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclrmsm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Proof of Theorem ply1sclrmsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1sclrmsm.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		ply1sclrmsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 21996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	eleq2d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
7	6	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8		ply1sclrmsm.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		ply1sclrmsm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	asclval 21654	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
15	14	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
16	15	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍))
17		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
18	1	eleq2i 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
19	18	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
21	2	ply1ring 21991	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		ply1sclrmsm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
23	22, 12	ringidcl 20155	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
25	24	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
26		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝐸)
27		ply1sclrmsm.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
28		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	2, 27, 22, 28, 11	ply1ass23l 21970	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝐸 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
30	17, 20, 25, 26, 29	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
31	22, 27, 12	ringlidm 20158	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
32	21, 31	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
33	32	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
34	33	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)) = (𝐹 · 𝑍))
35	16, 30, 34	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  ._gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  algSccascl 21627  var₁cv1 21920  Poly₁cpl1 21921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-ply1 21926

This theorem is referenced by:  coe1sclmulval  47155