Theorem ply1sclrmsm 43944

Description: The ring multiplication of a polynomial with a scalar polynomial is equal to the scalar multiplication of the polynomial with the corresponding scalar. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1sclrmsm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclrmsm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1sclrmsm.b	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
ply1sclrmsm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1sclrmsm.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1sclrmsm.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1sclrmsm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1sclrmsm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1sclrmsm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclrmsm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Proof of Theorem ply1sclrmsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1sclrmsm.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		ply1sclrmsm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 20109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	syl5eq 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	eleq2d 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
7	6	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8		ply1sclrmsm.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
9		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
10		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		ply1sclrmsm.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
12		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	asclval 19802	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
15	14	3adant3 1125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
16	15	oveq1d 7036	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍))
17		simp1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
18	1	eleq2i 2874	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 ↔ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
19	18	biimpi 217	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
21	2	ply1ring 20104	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		ply1sclrmsm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
23	22, 12	ringidcl 19013	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
25	24	3ad2ant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑃) ∈ 𝐸)
26		simp3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝐸)
27		ply1sclrmsm.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
28		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	2, 27, 22, 28, 11	ply1ass23l 43943	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝐸 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
30	17, 20, 25, 26, 29	syl13anc 1365	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐹 · (1r‘𝑃)) × 𝑍) = (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)))
31	22, 27, 12	ringlidm 19016	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
32	21, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
33	32	3adant2 1124	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((1r‘𝑃) × 𝑍) = 𝑍)
34	33	oveq2d 7037	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → (𝐹 · ((1r‘𝑃) × 𝑍)) = (𝐹 · 𝑍))
35	16, 30, 34	3eqtrd 2835	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝐸) → ((𝐴‘𝐹) × 𝑍) = (𝐹 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  ._rcmulr 16400  Scalarcsca 16402   ·_𝑠 cvsca 16403  ._gcmg 17986  mulGrpcmgp 18934  1_rcur 18946  Ringcrg 18992  algSccascl 19778  var₁cv1 20032  Poly₁cpl1 20033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-ofr 7273  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-hash 13546  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-tset 16418  df-ple 16419  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-mulg 17987  df-subg 18035  df-ghm 18102  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-subrg 19228  df-ascl 19781  df-psr 19829  df-mpl 19831  df-opsr 19833  df-psr1 20036  df-ply1 20038

This theorem is referenced by:  coe1sclmulval  43946