Theorem ply1scl0OLD 22261

Description: Obsolete version of ply1scl1 22263 as of 12-Mar-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1scl0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl0OLD	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem ply1scl0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ply1scl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20237	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		ply1scl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1sca2 22222	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
7		baseid 17233	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8	7, 1	strfvi 17210	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
11	4, 6, 8, 9, 10	asclval 21867	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐴‘ 0 ) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
13		fvi 6966	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6891	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	2, 14	eqtr4id 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘( I ‘𝑅)))
16	15	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17	5	ply1lmod 22220	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18	5	ply1ring 22216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
20	19, 10	ringidcl 20235	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘( I ‘𝑅))
23		ply1scl0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
24	19, 6, 9, 22, 23	lmod0vs 20866	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑌)
25	17, 21, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑌)
26	12, 16, 25	3eqtrd 2773	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   I cid 5559  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ndxcnx 17213  Basecbs 17230   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17460  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  LModclmod 20831  algSccascl 21839  Poly₁cpl1 22145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-prds 17468  df-pws 17470  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18770  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-mulg 19060  df-subg 19115  df-ghm 19205  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-ascl 21842  df-psr 21896  df-mpl 21898  df-opsr 21900  df-psr1 22148  df-ply1 22150

This theorem is referenced by: (None)