Theorem ply1scl0OLD 22177

Description: Obsolete version of ply1scl1 22179 as of 12-Mar-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1scl0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl0OLD	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem ply1scl0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ply1scl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20176	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		ply1scl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1sca2 22138	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
7		baseid 17182	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8	7, 1	strfvi 17160	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
11	4, 6, 8, 9, 10	asclval 21789	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐴‘ 0 ) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
13		fvi 6937	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	2, 14	eqtr4id 2783	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘( I ‘𝑅)))
16	15	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17	5	ply1lmod 22136	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18	5	ply1ring 22132	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
20	19, 10	ringidcl 20174	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘( I ‘𝑅))
23		ply1scl0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
24	19, 6, 9, 22, 23	lmod0vs 20801	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑌)
25	17, 21, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑌)
26	12, 16, 25	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5532  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ndxcnx 17163  Basecbs 17179   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  algSccascl 21761  Poly₁cpl1 22061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-ply1 22066

This theorem is referenced by: (None)