Theorem ply1scltm 22205

Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scltm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1scltm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scltm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1scltm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1scltm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1scltm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1scltm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scltm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem ply1scltm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scltm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		ply1scltm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca2 22177	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
4		baseid 17188	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		ply1scltm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	strfvi 17164	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
7		ply1scltm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9	1, 3, 6, 7, 8	asclval 21818	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
10	9	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
11		ply1scltm.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 2, 12	vr1cl 22141	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14		ply1scltm.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
15	14, 12	mgpbas 20085	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
16	14, 8	ringidval 20128	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑁)
17		ply1scltm.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
18	15, 16, 17	mulg0 19035	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
20	19	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
21	20	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
22	10, 21	eqtr4d 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   I cid 5577  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  ndxcnx 17167  Basecbs 17185   ·_𝑠 cvsca 17242  ._gcmg 19028  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20126  Ringcrg 20178  algSccascl 21791  var₁cv1 22100  Poly₁cpl1 22101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-seq 14005  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-tset 17257  df-ple 17258  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-mulg 19029  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22104  df-vr1 22105  df-ply1 22106

This theorem is referenced by:  coe1sclmul  22206  coe1sclmul2  22208  coe1scl  22211  ply1idvr1  22219  pmatcollpwscmatlem2  22710