MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scltm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scltm 22155
Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scltm.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1scltm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1scltm.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1scltm.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
ply1scltm.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
ply1scltm.e ↑ = (.gβ€˜π‘)
ply1scltm.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1scltm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜πΉ) = (𝐹 Β· (0 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem ply1scltm
StepHypRef Expression
1 ply1scltm.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
2 ply1scltm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1sca2 22127 . . . 4 ( I β€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
4 baseid 17156 . . . . 5 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
5 ply1scltm.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
64, 5strfvi 17132 . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜( I β€˜π‘…))
7 ply1scltm.m . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
8 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
91, 3, 6, 7, 8asclval 21774 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐾 β†’ (π΄β€˜πΉ) = (𝐹 Β· (1rβ€˜π‘ƒ)))
109adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜πΉ) = (𝐹 Β· (1rβ€˜π‘ƒ)))
11 ply1scltm.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1311, 2, 12vr1cl 22091 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
14 ply1scltm.n . . . . . . 7 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
1514, 12mgpbas 20045 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘)
1614, 8ringidval 20088 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘)
17 ply1scltm.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜π‘)
1815, 16, 17mulg0 19002 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
1913, 18syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
2019adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
2120oveq2d 7421 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹 Β· (0 ↑ 𝑋)) = (𝐹 Β· (1rβ€˜π‘ƒ)))
2210, 21eqtr4d 2769 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜πΉ) = (𝐹 Β· (0 ↑ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   I cid 5566  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ndxcnx 17135  Basecbs 17153   ·𝑠 cvsca 17210  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Ringcrg 20138  algSccascl 21747  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-ple 17226  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-mulg 18996  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056
This theorem is referenced by:  coe1sclmul  22156  coe1sclmul2  22158  coe1scl  22161  ply1idvr1  22169  pmatcollpwscmatlem2  22647
  Copyright terms: Public domain W3C validator