Theorem ply1scltm 22209

Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scltm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1scltm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scltm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1scltm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1scltm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1scltm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1scltm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scltm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem ply1scltm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scltm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		ply1scltm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca2 22181	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
4		baseid 17182	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		ply1scltm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	strfvi 17158	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
7		ply1scltm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9	1, 3, 6, 7, 8	asclval 21817	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
10	9	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
11		ply1scltm.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 2, 12	vr1cl 22145	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14		ply1scltm.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
15	14, 12	mgpbas 20084	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
16	14, 8	ringidval 20127	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑁)
17		ply1scltm.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
18	15, 16, 17	mulg0 19034	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
20	19	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
21	20	oveq2d 7432	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
22	10, 21	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   I cid 5569  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  ndxcnx 17161  Basecbs 17179   ·_𝑠 cvsca 17236  ._gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  algSccascl 21790  var₁cv1 22103  Poly₁cpl1 22104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-ple 17252  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-mulg 19028  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109

This theorem is referenced by:  coe1sclmul  22210  coe1sclmul2  22212  coe1scl  22215  ply1idvr1  22223  pmatcollpwscmatlem2  22710