Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scltm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scltm 21010
 Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scltm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1scltm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1scltm.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1scltm.m · = ( ·𝑠𝑃)
ply1scltm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1scltm.e = (.g𝑁)
ply1scltm.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1scltm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐴𝐹) = (𝐹 · (0 𝑋)))

Proof of Theorem ply1scltm
StepHypRef Expression
1 ply1scltm.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2 ply1scltm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1sca2 20983 . . . 4 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
4 df-base 16552 . . . . 5 Base = Slot 1
5 ply1scltm.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
64, 5strfvi 16600 . . . 4 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
7 ply1scltm.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
8 eqid 2758 . . . 4 (1r𝑃) = (1r𝑃)
91, 3, 6, 7, 8asclval 20647 . . 3 (𝐹𝐾 → (𝐴𝐹) = (𝐹 · (1r𝑃)))
109adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐴𝐹) = (𝐹 · (1r𝑃)))
11 ply1scltm.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
12 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1311, 2, 12vr1cl 20946 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14 ply1scltm.n . . . . . . 7 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
1514, 12mgpbas 19318 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
1614, 8ringidval 19326 . . . . . 6 (1r𝑃) = (0g𝑁)
17 ply1scltm.e . . . . . 6 = (.g𝑁)
1815, 16, 17mulg0 18303 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
1913, 18syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (0 𝑋) = (1r𝑃))
2019adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
2120oveq2d 7171 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹 · (0 𝑋)) = (𝐹 · (1r𝑃)))
2210, 21eqtr4d 2796 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐴𝐹) = (𝐹 · (0 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   I cid 5432  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581  Basecbs 16546   ·𝑠 cvsca 16632  .gcmg 18296  mulGrpcmgp 19312  1rcur 19324  Ringcrg 19370  algSccascl 20622  var1cv1 20905  Poly1cpl1 20906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-seq 13424  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-ple 16648  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-mulg 18297  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-ascl 20625  df-psr 20676  df-mvr 20677  df-mpl 20678  df-opsr 20680  df-psr1 20909  df-vr1 20910  df-ply1 20911 This theorem is referenced by:  coe1sclmul  21011  coe1sclmul2  21013  coe1scl  21016  ply1idvr1  21022  pmatcollpwscmatlem2  21495
 Copyright terms: Public domain W3C validator