Theorem ply1scltm 22232

Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scltm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1scltm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scltm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1scltm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1scltm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1scltm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1scltm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scltm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem ply1scltm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scltm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		ply1scltm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca2 22203	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
4		baseid 17232	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		ply1scltm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	strfvi 17209	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
7		ply1scltm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9	1, 3, 6, 7, 8	asclval 21854	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
11		ply1scltm.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 2, 12	vr1cl 22167	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14		ply1scltm.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
15	14, 12	mgpbas 20110	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
16	14, 8	ringidval 20148	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑁)
17		ply1scltm.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
18	15, 16, 17	mulg0 19061	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
21	20	oveq2d 7429	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
22	10, 21	eqtr4d 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   I cid 5557  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  ndxcnx 17212  Basecbs 17229   ·_𝑠 cvsca 17277  ._gcmg 19054  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  algSccascl 21826  var₁cv1 22125  Poly₁cpl1 22126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-seq 14025  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-tset 17292  df-ple 17293  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-mulg 19055  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-ascl 21829  df-psr 21883  df-mvr 21884  df-mpl 21885  df-opsr 21887  df-psr1 22129  df-vr1 22130  df-ply1 22131

This theorem is referenced by:  coe1sclmul  22233  coe1sclmul2  22235  coe1scl  22238  ply1idvr1OLD  22247  pmatcollpwscmatlem2  22744