Theorem ply1scltm 22561

Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scltm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1scltm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scltm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1scltm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1scltm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1scltm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1scltm.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scltm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem ply1scltm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scltm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		ply1scltm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca2 22532	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
4		baseid 17351	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		ply1scltm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	4, 5	strfvi 17329	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
7		ply1scltm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9	1, 3, 6, 7, 8	asclval 22148	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
11		ply1scltm.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 2, 12	vr1cl 22496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14		ply1scltm.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
15	14, 12	mgpbas 20326	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
16	14, 8	ringidval 20370	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑁)
17		ply1scltm.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
18	15, 16, 17	mulg0 19245	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
19	13, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
21	20	oveq2d 7424	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)) = (𝐹 · (1r‘𝑃)))
22	10, 21	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐹 · (0 ↑ 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   I cid 5541  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  ndxcnx 17332  Basecbs 17348   ·_𝑠 cvsca 17393  ._gcmg 19238  mulGrpcmgp 20321  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  algSccascl 22121  var₁cv1 22455  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-seq 14113  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-tset 17408  df-ple 17409  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-mulg 19239  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461

This theorem is used by:  coe1sclmul  22562  coe1sclmul2  22564  coe1scl  22567  pmatcollpwscmatlem2  23069