MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayhamlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cayhamlem2 22806
Description: Lemma for cayhamlem3 22809. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
cayhamlem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cayhamlem2.1 1 = (1rβ€˜π΄)
cayhamlem2.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
cayhamlem2.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π΄))
cayhamlem2.r Β· = (.rβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
cayhamlem2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((π»β€˜πΏ) βˆ— (𝐿 ↑ 𝑀)) = ((𝐿 ↑ 𝑀) Β· ((π»β€˜πΏ) βˆ— 1 )))
Proof of Theorem cayhamlem2
StepHypRef Expression
1 elmapi 8874 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) β†’ 𝐻:β„•0⟢𝐾)
21ffvelcdmda 7099 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜πΏ) ∈ 𝐾)
32adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (π»β€˜πΏ) ∈ 𝐾)
4 cayhamlem2.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 cayhamlem2.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
65matsca2 22342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
763adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
87fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
94, 8eqtr2id 2781 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = 𝐾)
109eleq2d 2815 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((π»β€˜πΏ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ↔ (π»β€˜πΏ) ∈ 𝐾))
1110adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((π»β€˜πΏ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ↔ (π»β€˜πΏ) ∈ 𝐾))
123, 11mpbird 256 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (π»β€˜πΏ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (algScβ€˜π΄) = (algScβ€˜π΄)
14 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))
16 cayhamlem2.m . . . . . 6 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
17 cayhamlem2.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π΄)
1813, 14, 15, 16, 17asclval 21820 . . . . 5 ((π»β€˜πΏ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) β†’ ((algScβ€˜π΄)β€˜(π»β€˜πΏ)) = ((π»β€˜πΏ) βˆ— 1 ))
1912, 18syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((algScβ€˜π΄)β€˜(π»β€˜πΏ)) = ((π»β€˜πΏ) βˆ— 1 ))
2019eqcomd 2734 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((π»β€˜πΏ) βˆ— 1 ) = ((algScβ€˜π΄)β€˜(π»β€˜πΏ)))
2120oveq2d 7442 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((𝐿 ↑ 𝑀) Β· ((π»β€˜πΏ) βˆ— 1 )) = ((𝐿 ↑ 𝑀) Β· ((algScβ€˜π΄)β€˜(π»β€˜πΏ))))
225matassa 22366 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐴 ∈ AssAlg)
23223adant3 1129 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ AssAlg)
2423adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝐴 ∈ AssAlg)
25 eqid 2728 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π΄) = (mulGrpβ€˜π΄)
26 cayhamlem2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
2725, 26mgpbas 20087 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π΄))
28 cayhamlem2.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π΄))
29 crngring 20192 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3029anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
31303adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
325matring 22365 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
3325ringmgp 20186 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π΄) ∈ Mnd)
3431, 32, 333syl 18 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π΄) ∈ Mnd)
3534adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (mulGrpβ€˜π΄) ∈ Mnd)
36 simprr 771 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
37 simpl3 1190 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
3827, 28, 35, 36, 37mulgnn0cld 19057 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝐿 ↑ 𝑀) ∈ 𝐡)
39 cayhamlem2.r . . . 4 Β· = (.rβ€˜π΄)
4013, 14, 15, 26, 39, 16asclmul2 21827 . . 3 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (π»β€˜πΏ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ (𝐿 ↑ 𝑀) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐿 ↑ 𝑀) Β· ((algScβ€˜π΄)β€˜(π»β€˜πΏ))) = ((π»β€˜πΏ) βˆ— (𝐿 ↑ 𝑀)))
4124, 12, 38, 40syl3anc 1368 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((𝐿 ↑ 𝑀) Β· ((algScβ€˜π΄)β€˜(π»β€˜πΏ))) = ((π»β€˜πΏ) βˆ— (𝐿 ↑ 𝑀)))
4221, 41eqtr2d 2769 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑m β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((π»β€˜πΏ) βˆ— (𝐿 ↑ 𝑀)) = ((𝐿 ↑ 𝑀) Β· ((π»β€˜πΏ) βˆ— 1 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  Mndcmnd 18701  .gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  AssAlgcasa 21791  algSccascl 21793   Mat cmat 22327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-assa 21794  df-ascl 21796  df-mamu 22306  df-mat 22328
This theorem is referenced by:  cayhamlem3  22809
  Copyright terms: Public domain W3C validator