Theorem cayhamlem2 21199

Description: Lemma for cayhamlem3 21202. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
cayhamlem2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem2.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
cayhamlem2.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cayhamlem2.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
cayhamlem2.r	⊢ · = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cayhamlem2	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐻‘𝐿) ∗ (𝐿 ↑ 𝑀)) = ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 )))

Proof of Theorem cayhamlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) → 𝐻:ℕ0⟶𝐾)
2	1	ffvelrnda 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝐿) ∈ 𝐾)
3	2	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐻‘𝐿) ∈ 𝐾)
4		cayhamlem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		cayhamlem2.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6	5	matsca2 20736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
7	6	3adant3 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	fveq2d 6505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
9	4, 8	syl5req 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = 𝐾)
10	9	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝐿) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ↔ (𝐻‘𝐿) ∈ 𝐾))
11	10	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐻‘𝐿) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ↔ (𝐻‘𝐿) ∈ 𝐾))
12	3, 11	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐻‘𝐿) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
13		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝐴) = (algSc‘𝐴)
14		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16		cayhamlem2.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		cayhamlem2.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
18	13, 14, 15, 16, 17	asclval 19832	. . . . 5 ⊢ ((𝐻‘𝐿) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) → ((algSc‘𝐴)‘(𝐻‘𝐿)) = ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 ))
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((algSc‘𝐴)‘(𝐻‘𝐿)) = ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 ))
20	19	eqcomd 2784	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 ) = ((algSc‘𝐴)‘(𝐻‘𝐿)))
21	20	oveq2d 6994	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 )) = ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((algSc‘𝐴)‘(𝐻‘𝐿))))
22	5	matassa 20760	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
23	22	3adant3 1112	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ AssAlg)
24	23	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ AssAlg)
25		crngring 19034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	25	anim2i 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27	26	3adant3 1112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28	5	matring 20759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
29		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
30	29	ringmgp 19029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
31	27, 28, 30	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
32	31	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
33		simprr 760	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		simpl3 1173	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
35		cayhamlem2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36	29, 35	mgpbas 18971	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
37		cayhamlem2.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
38	36, 37	mulgnn0cl 18032	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐿 ↑ 𝑀) ∈ 𝐵)
39	32, 33, 34, 38	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ↑ 𝑀) ∈ 𝐵)
40		cayhamlem2.r	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐴)
41	13, 14, 15, 35, 40, 16	asclmul2 19837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝐻‘𝐿) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐿 ↑ 𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((algSc‘𝐴)‘(𝐻‘𝐿))) = ((𝐻‘𝐿) ∗ (𝐿 ↑ 𝑀)))
42	24, 12, 39, 41	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((algSc‘𝐴)‘(𝐻‘𝐿))) = ((𝐻‘𝐿) ∗ (𝐿 ↑ 𝑀)))
43	21, 42	eqtr2d 2815	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻 ∈ (𝐾 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐻‘𝐿) ∗ (𝐿 ↑ 𝑀)) = ((𝐿 ↑ 𝑀) · ((𝐻‘𝐿) ∗ 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978   ↑_𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  ℕ₀cn0 11710  Basecbs 16342  ._rcmulr 16425  Scalarcsca 16427   ·_𝑠 cvsca 16428  Mndcmnd 17765  ._gcmg 18014  mulGrpcmgp 18965  1_rcur 18977  Ringcrg 19023  CRingccrg 19024  AssAlgcasa 19806  algSccascl 19808   Mat cmat 20723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-ot 4451  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-subrg 19259  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-assa 19809  df-ascl 19811  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-mamu 20700  df-mat 20724

This theorem is referenced by:  cayhamlem3  21202