Theorem mplascl 21272

Description: Value of the scalar injection into the polynomial algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mplascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋   0 ,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mplascl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mplascl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mplascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	mplsca 21217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8	2, 7	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
9	1, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10		mplascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21084	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17		mplascl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		mplascl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 14, 4, 5	mpl1 21216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
21	20	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
22	17	psrbag0 21270	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
23	4, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
24	3, 13, 17, 19, 18, 2, 4, 5, 23, 1	mplmon2 21269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
25	16, 21, 24	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  algSccascl 21059   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  subrgascl  21274  subrgasclcl  21275  evlslem1  21292  mhpsclcl  21337  mdegle0  25242