Theorem mplascl 21270

Description: Value of the scalar injection into the polynomial algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mplascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋   0 ,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mplascl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mplascl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mplascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	mplsca 21215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8	2, 7	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
9	1, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10		mplascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21082	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17		mplascl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		mplascl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 14, 4, 5	mpl1 21214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
21	20	oveq2d 7293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
22	17	psrbag0 21268	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
23	4, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
24	3, 13, 17, 19, 18, 2, 4, 5, 23, 1	mplmon2 21267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
25	16, 21, 24	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  ifcif 4461  {csn 4563   ↦ cmpt 5159   × cxp 5589  ^◡ccnv 5590   “ cima 5594  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277   ↑_m cmap 8613  Fincfn 8731  0cc0 10869  ℕcn 11971  ℕ₀cn0 12231  Basecbs 16910  Scalarcsca 16963   ·_𝑠 cvsca 16964  0_gc0g 17148  1_rcur 19735  Ringcrg 19781  algSccascl 21057   mPoly cmpl 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-tset 16979  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-ascl 21060  df-psr 21110  df-mpl 21112

This theorem is referenced by:  subrgascl  21272  subrgasclcl  21273  evlslem1  21290  mhpsclcl  21335  mdegle0  25240