Theorem mplascl 19818

Description: Value of the scalar injection into the polynomial algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mplascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋   0 ,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mplascl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mplascl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mplascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	mplsca 19768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8	2, 7	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
9	1, 8	eleqtrd 2880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10		mplascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
12		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 19658	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17		mplascl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		mplascl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 14, 4, 5	mpl1 19767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
21	20	oveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
22	17	psrbag0 19816	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
23	4, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
24	3, 13, 17, 19, 18, 2, 4, 5, 23, 1	mplmon2 19815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
25	16, 21, 24	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3093  ifcif 4277  {csn 4368   ↦ cmpt 4922   × cxp 5310  ^◡ccnv 5311   “ cima 5315  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  0cc0 10224  ℕcn 11312  ℕ₀cn0 11580  Basecbs 16184  Scalarcsca 16270   ·_𝑠 cvsca 16271  0_gc0g 16415  1_rcur 18817  Ringcrg 18863  algSccascl 19634   mPoly cmpl 19676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mpl 19681

This theorem is referenced by:  subrgascl  19820  subrgasclcl  19821  evlslem1  19837  mdegle0  24178