Theorem mplascl 21182

Description: Value of the scalar injection into the polynomial algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mplascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋   0 ,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem mplascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		mplascl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mplascl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mplascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	mplsca 21127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
8	2, 7	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
9	1, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10		mplascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 20994	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17		mplascl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18		mplascl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	3, 17, 18, 19, 14, 4, 5	mpl1 21126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
21	20	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
22	17	psrbag0 21180	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
23	4, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
24	3, 13, 17, 19, 18, 2, 4, 5, 23, 1	mplmon2 21179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
25	16, 21, 24	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  ifcif 4456  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  algSccascl 20969   mPoly cmpl 21019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mpl 21024

This theorem is referenced by:  subrgascl  21184  subrgasclcl  21185  evlslem1  21202  mhpsclcl  21247  mdegle0  25147