Theorem ply1scl1OLD 22313

Description: Obsolete version of ply1scl1 22312 as of 12-Mar-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1scl1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl1OLD	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1scl1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ply1scl1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20280	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		ply1scl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1sca2 22271	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
7		baseid 17248	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
8	7, 1	strfvi 17224	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		ply1scl1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑃)
11	4, 6, 8, 9, 10	asclval 21918	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐴‘ 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁))
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁))
13		fvi 6985	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
15	14, 2	eqtr4di 2793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘( I ‘𝑅)) = 1 )
16	15	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁))
17	5	ply1lmod 22269	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18	5	ply1ring 22265	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
20	19, 10	ringidcl 20280	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ (Base‘𝑃))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘( I ‘𝑅))
23	19, 6, 9, 22	lmodvs1 20905	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁) = 𝑁)
24	17, 21, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁) = 𝑁)
25	12, 16, 24	3eqtr2d 2781	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   I cid 5582  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ndxcnx 17227  Basecbs 17245   ·_𝑠 cvsca 17302  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  algSccascl 21890  Poly₁cpl1 22194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199

This theorem is referenced by: (None)