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Theorem nmobndseqi 30070
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqi ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐿   π‘˜,π‘Œ   𝑓,𝑀,π‘˜   𝑇,𝑓,π‘˜   𝑓,𝑋,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓,π‘˜)   𝑁(𝑓)   π‘Š(𝑓,π‘˜)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem nmobndseqi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 451 . . . . . 6 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
2 r19.35 3108 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
32imbi2i 335 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
41, 3bitr4i 277 . . . . 5 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
54albii 1821 . . . 4 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
6 nmoubi.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
76fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
8 nnenom 13947 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
9 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) = (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
109breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1))
11 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
1211breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
1310, 12imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
1413notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
157, 8, 14axcc4 10436 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
1615con3i 154 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
17 dfrex2 3073 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
1817imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
1918albii 1821 . . . . . . 7 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
20 alinexa 1845 . . . . . . 7 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
2119, 20bitri 274 . . . . . 6 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
22 dfral2 3099 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
2322rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
24 rexnal 3100 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
2523, 24bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
2616, 21, 253imtr4i 291 . . . . 5 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
27 nnre 12221 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
2827anim1i 615 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)))
2928reximi2 3079 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
3026, 29syl 17 . . . 4 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
315, 30sylbi 216 . . 3 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
32 nmoubi.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
33 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
34 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
35 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
36 nmoubi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
37 nmoubi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
386, 32, 33, 34, 35, 36, 37nmobndi 30066 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)))
3931, 38imbitrrid 245 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ))
4039imp 407 1 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  1c1 11113   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  NrmCVeccnv 29875  BaseSetcba 29877  normCVcnmcv 29881   normOpOLD cnmoo 30032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-nmoo 30036
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