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Theorem nmobndseqi 30296
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqi ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐿   π‘˜,π‘Œ   𝑓,𝑀,π‘˜   𝑇,𝑓,π‘˜   𝑓,𝑋,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓,π‘˜)   𝑁(𝑓)   π‘Š(𝑓,π‘˜)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem nmobndseqi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 450 . . . . . 6 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
2 r19.35 3107 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
32imbi2i 335 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
41, 3bitr4i 277 . . . . 5 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
54albii 1820 . . . 4 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
6 nmoubi.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
76fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
8 nnenom 13950 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
9 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) = (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
109breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1))
11 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
1211breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
1310, 12imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
1413notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
157, 8, 14axcc4 10437 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
1615con3i 154 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
17 dfrex2 3072 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
1817imbi2i 335 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
1918albii 1820 . . . . . . 7 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
20 alinexa 1844 . . . . . . 7 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
2119, 20bitri 274 . . . . . 6 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
22 dfral2 3098 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
2322rexbii 3093 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
24 rexnal 3099 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
2523, 24bitri 274 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
2616, 21, 253imtr4i 291 . . . . 5 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
27 nnre 12224 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
2827anim1i 614 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)))
2928reximi2 3078 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
3026, 29syl 17 . . . 4 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
315, 30sylbi 216 . . 3 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
32 nmoubi.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
33 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
34 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
35 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
36 nmoubi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
37 nmoubi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
386, 32, 33, 34, 35, 36, 37nmobndi 30292 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)))
3931, 38imbitrrid 245 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ))
4039imp 406 1 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„cr 11112  1c1 11114   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  NrmCVeccnv 30101  BaseSetcba 30103  normCVcnmcv 30107   normOpOLD cnmoo 30258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-grpo 30010  df-gid 30011  df-ginv 30012  df-ablo 30062  df-vc 30076  df-nv 30109  df-va 30112  df-ba 30113  df-sm 30114  df-0v 30115  df-nmcv 30117  df-nmoo 30262
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