MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbseqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbseqi 29768
Description: An unbounded operator determines an unbounded sequence. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbseqi ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘β€˜π‘‡) = +∞) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐿   π‘˜,π‘Œ   𝑓,𝑀,π‘˜   𝑇,𝑓,π‘˜   𝑓,𝑋,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓,π‘˜)   𝑁(𝑓)   π‘Š(𝑓,π‘˜)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem nmounbseqi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmoubi.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
6 nmoubi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmounbi 29767 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) = +∞ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
98biimpa 478 . 2 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘β€˜π‘‡) = +∞) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
10 nnre 12168 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1110imim1i 63 . . 3 ((π‘˜ ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))))
1211ralimi2 3078 . 2 (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))))
131fvexi 6860 . . 3 𝑋 ∈ V
14 nnenom 13894 . . 3 β„• β‰ˆ Ο‰
15 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) = (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
1615breq1d 5119 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1))
17 2fveq3 6851 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
1817breq2d 5121 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ↔ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))))
1916, 18anbi12d 632 . . 3 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) ↔ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))))
2013, 14, 19axcc4 10383 . 2 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))))
219, 12, 203syl 18 1 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘β€˜π‘‡) = +∞) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 ∧ π‘˜ < (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060  +∞cpnf 11194   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  NrmCVeccnv 29575  BaseSetcba 29577  normCVcnmcv 29581   normOpOLD cnmoo 29732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591  df-nmoo 29736
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator