MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blpnf 22411
Description: The infinity ball in a standard metric is just the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnf ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑋)

Proof of Theorem blpnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metxmet 22348 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xblpnf 22410 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
31, 2sylan 571 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4 metcl 22346 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
543expia 1143 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
65pm4.71d 553 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
73, 6bitr4d 273 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ 𝑥𝑋))
87eqrdv 2803 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  cfv 6098  (class class class)co 6871  cr 10217  +∞cpnf 10353  ∞Metcxmt 19935  Metcme 19936  ballcbl 19937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-id 5216  df-po 5229  df-so 5230  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-er 7976  df-map 8091  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-2 11360  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945
This theorem is referenced by:  blssioo  22807  sblpnf  39006
  Copyright terms: Public domain W3C validator