Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme36m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme36m 39845
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on 𝑃 ∨ 𝑄 line. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 11-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme36.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme36.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme36.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme36.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme36.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme36.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme36.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme36.e 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme36.v 𝑉 = ((𝑑 ∨ 𝐸) ∧ π‘Š)
cdleme36.f 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
cdleme36.c 𝐢 = ((𝑆 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme36m ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 = 𝑆)

Proof of Theorem cdleme36m
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp3rl 1243 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
3 simp12 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simp13 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5 simp21 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6 simp3rr 1244 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
7 cdleme36.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdleme36.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdleme36.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdleme36.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdleme36.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdleme36.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
13 cdleme36.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3fa 39620 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐴)
151, 3, 4, 2, 5, 6, 14syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐴)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3 39621 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝐸 ≀ π‘Š)
171, 3, 4, 2, 5, 6, 16syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝐸 ≀ π‘Š)
1815, 17jca 511 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐸 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐸 ≀ π‘Š))
19 simp13l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
2019, 5jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄))
217, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3b 39613 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐸 β‰  𝑑)
221, 3, 20, 2, 21syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐸 β‰  𝑑)
2322necomd 2990 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑑 β‰  𝐸)
24 simp22 1204 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
25 simp23 1205 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
26 simp3l1 1275 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
27 simp3r 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
28 cdleme36.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2928, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme36a 39844 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑑 ∨ 𝐸))
301, 3, 19, 5, 24, 26, 27, 29syl331anc 1392 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑑 ∨ 𝐸))
31 simp3l2 1276 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3228, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme36a 39844 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝐸))
331, 3, 19, 5, 25, 31, 27, 32syl331anc 1392 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝐸))
34 simp3l3 1277 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐹 = 𝐢)
35 cdleme36.v . . 3 𝑉 = ((𝑑 ∨ 𝐸) ∧ π‘Š)
36 cdleme36.f . . 3 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
37 cdleme36.c . . 3 𝐢 = ((𝑆 ∨ 𝑉) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
387, 8, 9, 10, 11, 35, 36, 37cdleme35h 39840 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ (𝐸 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐸 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑑 β‰  𝐸 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑑 ∨ 𝐸) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑑 ∨ 𝐸) ∧ 𝐹 = 𝐢)) β†’ 𝑅 = 𝑆)
391, 2, 18, 23, 24, 25, 30, 33, 34, 38syl333anc 1399 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝐹 = 𝐢) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme38m  39847
  Copyright terms: Public domain W3C validator