Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1200 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp3rl 1243 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) |
3 | | simp12 1201 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp13 1202 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp21 1203 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
6 | | simp3rr 1244 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) |
7 | | cdleme36.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdleme36.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdleme36.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdleme36.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdleme36.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdleme36.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
13 | | cdleme36.e |
. . . . 5
β’ πΈ = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
14 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme3fa 39620 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β πΈ β π΄) |
15 | 1, 3, 4, 2, 5, 6, 14 | syl132anc 1385 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β πΈ β π΄) |
16 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme3 39621 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΈ β€ π) |
17 | 1, 3, 4, 2, 5, 6, 16 | syl132anc 1385 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ πΈ β€ π) |
18 | 15, 17 | jca 511 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (πΈ β π΄ β§ Β¬ πΈ β€ π)) |
19 | | simp13l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
20 | 19, 5 | jca 511 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ π β π)) |
21 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme3b 39613 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π))) β πΈ β π‘) |
22 | 1, 3, 20, 2, 21 | syl13anc 1369 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β πΈ β π‘) |
23 | 22 | necomd 2990 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π‘ β πΈ) |
24 | | simp22 1204 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
25 | | simp23 1205 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
26 | | simp3l1 1275 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
27 | | simp3r 1199 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) |
28 | | cdleme36.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
29 | 28, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme36a 39844 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π‘ β¨ πΈ)) |
30 | 1, 3, 19, 5, 24, 26, 27, 29 | syl331anc 1392 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π
β€ (π‘ β¨ πΈ)) |
31 | | simp3l2 1276 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β€ (π β¨ π)) |
32 | 28, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme36a 39844 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π‘ β¨ πΈ)) |
33 | 1, 3, 19, 5, 25, 31, 27, 32 | syl331anc 1392 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π‘ β¨ πΈ)) |
34 | | simp3l3 1277 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β πΉ = πΆ) |
35 | | cdleme36.v |
. . 3
β’ π = ((π‘ β¨ πΈ) β§ π) |
36 | | cdleme36.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π‘ β¨ π
) β§ π))) |
37 | | cdleme36.c |
. . 3
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π‘ β¨ π) β§ π))) |
38 | 7, 8, 9, 10, 11, 35, 36, 37 | cdleme35h 39840 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ (πΈ β π΄ β§ Β¬ πΈ β€ π)) β§ (π‘ β πΈ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π‘ β¨ πΈ) β§ Β¬ π β€ (π‘ β¨ πΈ) β§ πΉ = πΆ)) β π
= π) |
39 | 1, 2, 18, 23, 24, 25, 30, 33, 34, 38 | syl333anc 1399 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ πΉ = πΆ) β§ ((π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π
= π) |