Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl11 1249 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simpl12 1250 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simpl13 1251 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simpl2l 1227 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β πΉ β π) |
5 | | simpl2r 1228 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β πΊ β π) |
6 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) |
7 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemg8 39123 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13 | syl132anc 1389 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
15 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
16 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
17 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) |
18 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) |
19 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
20 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19 | cdlemg15a 39147 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
21 | 15, 16, 17, 18, 20 | syl112anc 1375 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
22 | 14, 21 | pm2.61dane 3033 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |