Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg8 37899
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l = (le‘𝐾)
cdlemg8.j = (join‘𝐾)
cdlemg8.m = (meet‘𝐾)
cdlemg8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg8
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl21 1248 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simpl22 1249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simpl23 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
5 simpl3l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → 𝐺𝑇)
6 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)
7 cdlemg8.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 cdlemg8.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 cdlemg8.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 cdlemg8.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdlemg8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdlemg8.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
137, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg8a 37895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13syl123anc 1384 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) = 𝑃) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
15 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2 1189 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇))
17 simpl3l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃) → 𝐺𝑇)
18 simpl3r 1226 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃) → ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))
19 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)
207, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg8d 37898 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl113anc 1379 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ≠ 𝑃) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
2214, 21pm2.61dane 3101 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  cfv 6345  (class class class)co 7151  lecple 16574  joincjn 17556  meetcmee 17557  Atomscatm 36531  HLchlt 36618  LHypclh 37252  LTrncltrn 37369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-riotaBAD 36221
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-undef 7937  df-map 8406  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-llines 36766  df-lplanes 36767  df-lvols 36768  df-lines 36769  df-psubsp 36771  df-pmap 36772  df-padd 37064  df-lhyp 37256  df-laut 37257  df-ldil 37372  df-ltrn 37373  df-trl 37427
This theorem is referenced by:  cdlemg15  37924  cdlemg16z  37927  cdlemg37  37957
  Copyright terms: Public domain W3C validator