Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β πΉ β π) |
5 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β πΊ β π) |
6 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = π) |
7 | | cdlemg8.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg8.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemg8.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemg8.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemg8.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemg8.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemg8a 39119 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13 | syl123anc 1388 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) = π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
15 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π)) |
17 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π) β πΊ β π) |
18 | | simpl3r 1230 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π)) |
19 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π) β (πΉβ(πΊβπ)) β π) |
20 | 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemg8d 39122 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
21 | 15, 16, 17, 18, 19, 20 | syl113anc 1383 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β§ (πΉβ(πΊβπ)) β π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
22 | 14, 21 | pm2.61dane 3033 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |