Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β πΎ β HL) |
2 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π») |
3 | 1, 2 | jca 513 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | simp13l 1289 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β πΉ β π) |
7 | | simp13r 1290 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β πΊ β π) |
8 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π) |
9 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΊβπ) β π) |
10 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) |
11 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
12 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
13 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
14 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
16 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
18 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
19 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdlemg17pq 39164 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))))) |
20 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))))) |
21 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdlemg17i 39161 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΉβπ)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΉβπ)) |