Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
4 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π)) |
5 | | simp23l 1295 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β πΉ β π) |
6 | | simp23r 1296 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β πΊ β π) |
7 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ))) |
8 | | simp313 1323 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π§ β€ (π β¨ π£)) |
9 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) |
10 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
16 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
17 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | cdlemg28a 39185 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π§ β¨ (πΉβ(πΊβπ§))) β§ π)) |
18 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π§ β¨ (πΉβ(πΊβπ§))) β§ π)) |
19 | | cdlemg31.n |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
20 | | cdlemg33.o |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) |
21 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20 | cdlemg28b 39195 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π§ β¨ (πΉβ(πΊβπ§))) β§ π)) |
22 | 18, 21 | eqtr4d 2780 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |