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Theorem cdlemg28a 39868
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. First equality of the equation of line 14 on p. 117. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg28a ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑧 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∧ π‘Š))
Proof of Theorem cdlemg28a
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1203 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp21 1205 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š))
4 simp22 1206 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp23 1207 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 simp1 1135 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)))
7 simp21l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
8 simp31l 1295 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
9 simp32 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
10 simp33l 1299 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
11 cdlemg12.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
14 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
15 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
16 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1811, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg27a 39867 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑧))
196, 7, 4, 8, 9, 10, 18syl123anc 1386 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑧))
20 simp31r 1296 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ))
21 simp33r 1300 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
2211, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg27a 39867 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑧))
236, 7, 5, 20, 9, 21, 22syl123anc 1386 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑧))
2411, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg25zz 39865 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑧) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑧))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑧 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∧ π‘Š))
251, 2, 3, 4, 5, 19, 23, 24syl133anc 1392 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑧 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8262  df-map 8826  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334
This theorem is referenced by:  cdlemg28  39879
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