Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg28a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg28a 36499
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. First equality of the equation of line 14 on p. 117. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg28a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑧 (𝐹‘(𝐺𝑧))) 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg28a
StepHypRef Expression
1 simp11 1245 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1246 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp21 1248 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))
4 simp22 1249 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝐹𝑇)
5 simp23 1250 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝐺𝑇)
6 simp1 1130 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)))
7 simp21l 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑧𝐴)
8 simp31l 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
9 simp32 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
10 simp33l 1384 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
11 cdlemg12.l . . . 4 = (le‘𝐾)
12 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
13 cdlemg12.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
14 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1811, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg27a 36498 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
196, 7, 4, 8, 9, 10, 18syl123anc 1493 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
20 simp31r 1381 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))
21 simp33r 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
2211, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg27a 36498 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐺𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑧))
236, 7, 5, 20, 9, 21, 22syl123anc 1493 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑧))
2411, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg25zz 36496 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑧))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑧 (𝐹‘(𝐺𝑧))) 𝑊))
251, 2, 3, 4, 5, 19, 23, 24syl133anc 1499 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑧 (𝐹‘(𝐺𝑧))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6792  lecple 16152  joincjn 17148  meetcmee 17149  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  LHypclh 35789  LTrncltrn 35906  trLctrl 35964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34757
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17132  df-poset 17150  df-plt 17162  df-lub 17178  df-glb 17179  df-join 17180  df-meet 17181  df-p0 17243  df-p1 17244  df-lat 17250  df-clat 17312  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-llines 35303  df-lplanes 35304  df-lvols 35305  df-lines 35306  df-psubsp 35308  df-pmap 35309  df-padd 35601  df-lhyp 35793  df-laut 35794  df-ldil 35909  df-ltrn 35910  df-trl 35965
This theorem is referenced by:  cdlemg28  36510
  Copyright terms: Public domain W3C validator