Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg28a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg28a 39367
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. First equality of the equation of line 14 on p. 117. (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg28a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑧 (𝐹‘(𝐺𝑧))) 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg28a
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1204 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp21 1206 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))
4 simp22 1207 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝐹𝑇)
5 simp23 1208 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝐺𝑇)
6 simp1 1136 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)))
7 simp21l 1290 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑧𝐴)
8 simp31l 1296 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
9 simp32 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
10 simp33l 1300 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
11 cdlemg12.l . . . 4 = (le‘𝐾)
12 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
13 cdlemg12.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
14 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1811, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg27a 39366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
196, 7, 4, 8, 9, 10, 18syl123anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧))
20 simp31r 1297 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))
21 simp33r 1301 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
2211, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg27a 39366 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑧𝐴𝐺𝑇) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑧))
236, 7, 5, 20, 9, 21, 22syl123anc 1387 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑧))
2411, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemg25zz 39364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐺𝑇 ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑧) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑧))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑧 (𝐹‘(𝐺𝑧))) 𝑊))
251, 2, 3, 4, 5, 19, 23, 24syl133anc 1393 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑧 (𝐹‘(𝐺𝑧))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  lecple 17186  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 37936  HLchlt 38023  LHypclh 38658  LTrncltrn 38775  trLctrl 38832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-riotaBAD 37626
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-undef 8240  df-map 8805  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024  df-llines 38172  df-lplanes 38173  df-lvols 38174  df-lines 38175  df-psubsp 38177  df-pmap 38178  df-padd 38470  df-lhyp 38662  df-laut 38663  df-ldil 38778  df-ltrn 38779  df-trl 38833
This theorem is referenced by:  cdlemg28  39378
  Copyright terms: Public domain W3C validator