Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg34 38705
Description: Use cdlemg33 to eliminate 𝑧 from cdlemg29 38698. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg34 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑁,𝑟   𝑣,𝑟   𝑂,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,𝑟)   𝑇(𝑣,𝑟)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   (𝑣)   𝐾(𝑣)   (𝑣)   (𝑣,𝑟)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg34
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemg12.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 cdlemg12.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 cdlemg12.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 cdlemg12.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemg12.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemg12.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 cdlemg12b.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemg31.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
9 cdlemg33.o . . 3 𝑂 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐺)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdlemg33 38704 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))))
11 simp11 1201 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
12 simp121 1303 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
13 simp2 1135 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → 𝑧𝐴)
14 simp3l 1199 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → ¬ 𝑧 𝑊)
1513, 14jca 511 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊))
16 simp122 1304 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
17 simp3r1 1279 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → 𝑧𝑁)
18 simp3r2 1280 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → 𝑧𝑂)
1917, 18jca 511 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → (𝑧𝑁𝑧𝑂))
20 simp3r3 1281 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
21 simp131 1306 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
22 simp132 1307 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))
2321, 22jca 511 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdlemg29 38698 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ ((𝑧𝑁𝑧𝑂) ∧ 𝑧 (𝑃 𝑣) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
2511, 12, 15, 16, 19, 20, 23, 24syl133anc 1391 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
2625rexlimdv3a 3216 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 (𝑃 𝑣))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊)))
2710, 26mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wrex 3066   class class class wbr 5078  cfv 6430  (class class class)co 7268  lecple 16950  joincjn 18010  meetcmee 18011  Atomscatm 37256  HLchlt 37343  LHypclh 37977  LTrncltrn 38094  trLctrl 38151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-riotaBAD 36946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-undef 8073  df-map 8591  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493  df-lines 37494  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981  df-laut 37982  df-ldil 38097  df-ltrn 38098  df-trl 38152
This theorem is referenced by:  cdlemg36  38707
  Copyright terms: Public domain W3C validator