Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΉ β π) |
4 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΊ β π) |
5 | | simp31l 1297 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβπ) β π) |
6 | | simp31r 1298 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβπ) β π) |
7 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
8 | | cdlemg35.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | cdlemg35.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdlemg35.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
11 | | cdlemg35.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | | cdlemg35.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | | cdlemg35.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemg35.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
15 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemg35 39205 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β βπ£ β π΄ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15 | syl133anc 1394 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ£ β π΄ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) |
17 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
18 | | simp2 1138 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π£ β π΄) |
19 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π£ β€ π) |
20 | 18, 19 | jca 513 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
21 | | simp121 1306 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β πΉ β π) |
22 | | simp122 1307 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β πΊ β π) |
23 | 21, 22 | jca 513 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
24 | | simp123 1308 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π β π) |
25 | | simp3rl 1247 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π£ β (π
βπΉ)) |
26 | | simp3rr 1248 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β π£ β (π
βπΊ)) |
27 | | simp133 1311 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
28 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
29 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) |
30 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 28, 29 | cdlemg34 39204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
31 | 17, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 30 | syl133anc 1394 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
32 | 31 | rexlimdv3a 3157 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (βπ£ β π΄ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π))) |
33 | 16, 32 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |