Theorem cdlemk16-2N 42083

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cdlemk16-2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐶)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐶)))) ≤ 𝑊))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓, 𝑖)   𝑄(𝑓, 𝑖)   𝑆(𝑓, 𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)

Proof of Theorem cdlemk16-2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1223	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp21 1225	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
5		simp22 1226	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
6		simp23 1227	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp33 1230	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
8		simp13 1224	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
9		simp32l 1317	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
10		simp32r 1318	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11		simp31 1228	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹))
12		cdlemk2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		cdlemk2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		cdlemk2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		cdlemk2.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16		cdlemk2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
17		cdlemk2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18		cdlemk2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
19		cdlemk2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
20		cdlemk2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
21		cdlemk2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
22	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	cdlemk16 42060	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐶)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐶)))) ≤ 𝑊))
23	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22	syl333anc 1429	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐶)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐶)))) ≤ 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6547  ℩crio 7386  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  lecple 17450  joincjn 18500  meetcmee 18501  Atomscatm 40466  HLchlt 40553  LHypclh 41187  LTrncltrn 41304  trLctrl 41361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-riotaBAD 40156

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-undef 8304  df-map 8863  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-oposet 40379  df-ol 40381  df-oml 40382  df-covers 40469  df-ats 40470  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554  df-llines 40701  df-lplanes 40702  df-lvols 40703  df-lines 40704  df-psubsp 40706  df-pmap 40707  df-padd 40999  df-lhyp 41191  df-laut 41192  df-ldil 41307  df-ltrn 41308  df-trl 41362

This theorem is used by: (None)