Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk16-2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk16-2N 37497
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l = (le‘𝐾)
cdlemk2.j = (join‘𝐾)
cdlemk2.m = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk2.q 𝑄 = (𝑆𝐶)
Assertion
Ref Expression
cdlemk16-2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐶)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐹)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐶)))) 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)

Proof of Theorem cdlemk16-2N
StepHypRef Expression
1 simp11 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑊𝐻)
31, 2jca 512 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp21 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹𝑇)
5 simp22 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐶𝑇)
6 simp23 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑁𝑇)
7 simp33 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp13 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
9 simp32l 1289 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
10 simp32r 1290 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11 simp31 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹))
12 cdlemk2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 cdlemk2.l . . 3 = (le‘𝐾)
14 cdlemk2.j . . 3 = (join‘𝐾)
15 cdlemk2.m . . 3 = (meet‘𝐾)
16 cdlemk2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
17 cdlemk2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18 cdlemk2.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
19 cdlemk2.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemk2.s . . 3 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
21 cdlemk2.q . . 3 𝑄 = (𝑆𝐶)
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemk16 37474 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐶)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐹)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐶)))) 𝑊))
233, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22syl333anc 1393 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐶)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐹)) ((𝑄𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐶)))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982   class class class wbr 4956  cmpt 5035   I cid 5339  ccnv 5434  cres 5437  ccom 5439  cfv 6217  crio 6967  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  lecple 16389  joincjn 17371  meetcmee 17372  Atomscatm 35880  HLchlt 35967  LHypclh 36601  LTrncltrn 36718  trLctrl 36775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-riotaBAD 35570
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-undef 7781  df-map 8249  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-llines 36115  df-lplanes 36116  df-lvols 36117  df-lines 36118  df-psubsp 36120  df-pmap 36121  df-padd 36413  df-lhyp 36605  df-laut 36606  df-ldil 36721  df-ltrn 36722  df-trl 36776
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator