Theorem cdlemk24-3 37432

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶) requirement from cdlemk23-3 37431 using (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷). (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk24-3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ≤ ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (𝑥)   𝐾(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   ≤ (𝑥,𝑓,𝑑)   ∧ (𝑥)   𝑁(𝑥,𝑒,𝑑)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk24-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp31 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)))
2		simp32l 1278	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))
3		simp331 1306	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷))
4		simp32r 1279	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷))
5	3, 4	neeqtrrd 3035	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶))
6	2, 5	jca 504	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)))
7		simp33 1191	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))
8	1, 6, 7	3jca 1108	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥))))
9		cdlemk3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		cdlemk3.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		cdlemk3.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		cdlemk3.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		cdlemk3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		cdlemk3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		cdlemk3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		cdlemk3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17		cdlemk3.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
18		cdlemk3.u1	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
19	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	cdlemk23-3 37431	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
20	8, 19	syld3an3 1389	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   I cid 5304  ^◡ccnv 5399   ↾ cres 5402   ∘ ccom 5404  ‘cfv 6182  ℩crio 6930  (class class class)co 6970   ∈ cmpo 6972  Basecbs 16329  lecple 16418  joincjn 17402  meetcmee 17403  Atomscatm 35792  HLchlt 35879  LHypclh 36513  LTrncltrn 36630  trLctrl 36687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-riotaBAD 35482

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-undef 7735  df-map 8200  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688

This theorem is referenced by:  cdlemk25-3  37433