Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) |
2 | | simp32l 1299 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΊ) β (π
βπ·)) |
3 | | simp331 1327 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ₯) β (π
βπ·)) |
4 | | simp32r 1300 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΆ) = (π
βπ·)) |
5 | 3, 4 | neeqtrrd 3015 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) |
6 | 2, 5 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ))) |
7 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯))) |
8 | 1, 6, 7 | 3jca 1129 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) |
9 | | cdlemk3.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
10 | | cdlemk3.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdlemk3.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdlemk3.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdlemk3.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdlemk3.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdlemk3.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
16 | | cdlemk3.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
17 | | cdlemk3.s |
. . 3
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
18 | | cdlemk3.u1 |
. . 3
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
19 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdlemk23-3 39411 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |
20 | 8, 19 | syld3an3 1410 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |