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Theorem cdlemk25-3 37433
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷) requirement from cdlemk24-3 37432. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk25-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝐾(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝑁(𝑥,𝑒,𝑑)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk25-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1171 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)))
2 simpl2 1172 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
3 simpl31 1234 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)))
4 simpl32 1235 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
5 simpr 477 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷))
64, 5jca 504 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)))
7 simpl33 1236 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))
8 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 cdlemk3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemk3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemk3.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
12 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
17 cdlemk3.u1 . . . 4 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk24-3 37432 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
191, 2, 3, 6, 7, 18syl113anc 1362 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
20 simp11 1183 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simp121 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐹𝑇)
22 simp122 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐷𝑇)
2320, 21, 223jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
2423adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
25 simp123 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝑁𝑇)
26 simp131 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐺𝑇)
27 simp132 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐶𝑇)
2825, 26, 273jca 1108 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇))
29 simp21 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
30 simp221 1294 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
3128, 29, 303jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3231adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
33 simp222 1295 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp223 1296 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
35 simp231 1297 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3633, 34, 353jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3736adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38 simp232 1298 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
39 simp311 1300 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶))
40 simp312 1301 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹))
4138, 39, 403jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)))
4241adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)))
43 simp313 1302 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
4443adantr 473 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
45 simpl32 1235 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
46 simpr 477 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷))
4744, 45, 463jca 1108 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))
488, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk22-3 37430 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
4924, 32, 37, 42, 47, 48syl113anc 1362 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
5019, 49pm2.61dane 3049 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961   class class class wbr 4923  cmpt 5002   I cid 5304  ccnv 5399  cres 5402  ccom 5404  cfv 6182  crio 6930  (class class class)co 6970  cmpo 6972  Basecbs 16329  lecple 16418  joincjn 17402  meetcmee 17403  Atomscatm 35792  HLchlt 35879  LHypclh 36513  LTrncltrn 36630  trLctrl 36687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-riotaBAD 35482
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-undef 7735  df-map 8200  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688
This theorem is referenced by:  cdlemk26-3  37435
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