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Theorem cdlemk25-3 38145
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷) requirement from cdlemk24-3 38144. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk25-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝐾(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝑁(𝑥,𝑒,𝑑)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk25-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)))
2 simpl2 1189 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
3 simpl31 1251 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)))
4 simpl32 1252 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
5 simpr 488 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷))
64, 5jca 515 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)))
7 simpl33 1253 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))
8 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 cdlemk3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemk3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemk3.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
12 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
17 cdlemk3.u1 . . . 4 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk24-3 38144 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
191, 2, 3, 6, 7, 18syl113anc 1379 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
20 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simp121 1302 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐹𝑇)
22 simp122 1303 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐷𝑇)
2320, 21, 223jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
2423adantr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
25 simp123 1304 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝑁𝑇)
26 simp131 1305 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐺𝑇)
27 simp132 1306 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐶𝑇)
2825, 26, 273jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇))
29 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
30 simp221 1311 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
3128, 29, 303jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3231adantr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
33 simp222 1312 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp223 1313 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
35 simp231 1314 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3633, 34, 353jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3736adantr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38 simp232 1315 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
39 simp311 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶))
40 simp312 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹))
4138, 39, 403jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)))
4241adantr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)))
43 simp313 1319 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
4443adantr 484 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
45 simpl32 1252 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
46 simpr 488 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷))
4744, 45, 463jca 1125 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))
488, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk22-3 38142 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
4924, 32, 37, 42, 47, 48syl113anc 1379 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
5019, 49pm2.61dane 3101 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cmpt 5132   I cid 5446  ccnv 5541  cres 5544  ccom 5546  cfv 6343  crio 7106  (class class class)co 7149  cmpo 7151  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  Atomscatm 36504  HLchlt 36591  LHypclh 37225  LTrncltrn 37342  trLctrl 37399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-undef 7935  df-map 8404  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400
This theorem is referenced by:  cdlemk26-3  38147
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