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Theorem cdlemk25-3 37433
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷) requirement from cdlemk24-3 37432. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk25-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝐾(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝑁(𝑥,𝑒,𝑑)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk25-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1171 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)))
2 simpl2 1172 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
3 simpl31 1234 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)))
4 simpl32 1235 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
5 simpr 477 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷))
64, 5jca 504 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)))
7 simpl33 1236 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))
8 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 cdlemk3.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemk3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemk3.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
12 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
17 cdlemk3.u1 . . . 4 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk24-3 37432 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
191, 2, 3, 6, 7, 18syl113anc 1362 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) = (𝑅𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
20 simp11 1183 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simp121 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐹𝑇)
22 simp122 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐷𝑇)
2320, 21, 223jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
2423adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇))
25 simp123 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝑁𝑇)
26 simp131 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐺𝑇)
27 simp132 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐶𝑇)
2825, 26, 273jca 1108 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇))
29 simp21 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
30 simp221 1294 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
3128, 29, 303jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3231adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
33 simp222 1295 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp223 1296 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
35 simp231 1297 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3633, 34, 353jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3736adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38 simp232 1298 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
39 simp311 1300 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶))
40 simp312 1301 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹))
4138, 39, 403jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)))
4241adantr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)))
43 simp313 1302 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
4443adantr 473 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
45 simpl32 1235 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷))
46 simpr 477 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷))
4744, 45, 463jca 1108 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))
488, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk22-3 37430 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝐺𝑇𝐶𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
4924, 32, 37, 42, 47, 48syl113anc 1362 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
5019, 49pm2.61dane 3049 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐶𝑇𝑥𝑇)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅𝐶) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐷) ∧ ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐷) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   I cid 5304  ◡ccnv 5399   ↾ cres 5402   ∘ ccom 5404  ‘cfv 6182  ℩crio 6930  (class class class)co 6970   ∈ cmpo 6972  Basecbs 16329  lecple 16418  joincjn 17402  meetcmee 17403  Atomscatm 35792  HLchlt 35879  LHypclh 36513  LTrncltrn 36630  trLctrl 36687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-riotaBAD 35482 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-undef 7735  df-map 8200  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688 This theorem is referenced by:  cdlemk26-3  37435
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