Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk25-3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk25-3 40433
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·) requirement from cdlemk24-3 40432. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk3.u1 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk25-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝐹,𝑑,𝑒   ≀ ,𝑒   𝐢,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   π‘₯,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑖)   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (π‘₯,𝑓,𝑑)   ∧ (π‘₯)   𝑁(π‘₯,𝑒,𝑑)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk25-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)))
2 simpl2 1189 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))))
3 simpl31 1251 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
4 simpl32 1252 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))
5 simpr 483 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·))
64, 5jca 510 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)))
7 simpl33 1253 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))
8 cdlemk3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 cdlemk3.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdlemk3.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdlemk3.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
13 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
14 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
17 cdlemk3.u1 . . . 4 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk24-3 40432 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
191, 2, 3, 6, 7, 18syl113anc 1379 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) = (π‘…β€˜π·)) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
20 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21 simp121 1302 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
22 simp122 1303 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
2320, 21, 223jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
2423adantr 479 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
25 simp123 1304 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
26 simp131 1305 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
27 simp132 1306 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
2825, 26, 273jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇))
29 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
30 simp221 1311 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
3128, 29, 303jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
3231adantr 479 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
33 simp222 1312 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
34 simp223 1313 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
35 simp231 1314 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3633, 34, 353jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
3736adantr 479 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
38 simp232 1315 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
39 simp311 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ))
40 simp312 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
4138, 39, 403jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
4241adantr 479 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ (𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
43 simp313 1319 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
4443adantr 479 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
45 simpl32 1252 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))
46 simpr 483 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·))
4744, 45, 463jca 1125 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)))
488, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemk22-3 40430 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
4924, 32, 37, 42, 47, 48syl113anc 1379 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·)) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
5019, 49pm2.61dane 3019 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemk26-3  40435
  Copyright terms: Public domain W3C validator