Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π))) |
2 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅)))) |
3 | | simpl31 1255 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β ((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) |
4 | | simpl32 1256 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β (π
βπΊ) β (π
βπ·)) |
5 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β (π
βπΆ) = (π
βπ·)) |
6 | 4, 5 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·))) |
7 | | simpl33 1257 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯))) |
8 | | cdlemk3.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
9 | | cdlemk3.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdlemk3.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdlemk3.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdlemk3.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdlemk3.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdlemk3.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
15 | | cdlemk3.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
16 | | cdlemk3.s |
. . . 4
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
17 | | cdlemk3.u1 |
. . . 4
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
18 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 | cdlemk24-3 39412 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |
19 | 1, 2, 3, 6, 7, 18 | syl113anc 1383 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) = (π
βπ·)) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |
20 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
21 | | simp121 1306 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΉ β π) |
22 | | simp122 1307 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π· β π) |
23 | 20, 21, 22 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π)) |
24 | 23 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π)) |
25 | | simp123 1308 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π β π) |
26 | | simp131 1309 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΊ β π) |
27 | | simp132 1310 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΆ β π) |
28 | 25, 26, 27 | 3jca 1129 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π)) |
29 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
30 | | simp221 1315 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
31 | 28, 29, 30 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
32 | 31 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
33 | | simp222 1316 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
34 | | simp223 1317 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
35 | | simp231 1318 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
36 | 33, 34, 35 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
37 | 36 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
38 | | simp232 1319 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΆ β ( I βΎ π΅)) |
39 | | simp311 1321 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΊ) β (π
βπΆ)) |
40 | | simp312 1322 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) |
41 | 38, 39, 40 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ))) |
42 | 41 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ))) |
43 | | simp313 1323 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
44 | 43 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
45 | | simpl32 1256 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β (π
βπΊ) β (π
βπ·)) |
46 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β (π
βπΆ) β (π
βπ·)) |
47 | 44, 45, 46 | 3jca 1129 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·))) |
48 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 | cdlemk22-3 39410 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |
49 | 24, 32, 37, 42, 47, 48 | syl113anc 1383 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β§ (π
βπΆ) β (π
βπ·)) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |
50 | 19, 49 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |