Theorem cdlemk25-3 40887

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷) requirement from cdlemk24-3 40886. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk25-3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ≤ ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (𝑥)   𝐾(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   ≤ (𝑥,𝑓,𝑑)   ∧ (𝑥)   𝑁(𝑥,𝑒,𝑑)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk25-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)))
2		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
3		simpl31 1253	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)))
4		simpl32 1254	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷))
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)))
7		simpl33 1255	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))
8		cdlemk3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		cdlemk3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdlemk3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdlemk3.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12		cdlemk3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13		cdlemk3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14		cdlemk3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemk3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16		cdlemk3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
17		cdlemk3.u1	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
18	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemk24-3 40886	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
19	1, 2, 3, 6, 7, 18	syl113anc 1381	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) = (𝑅‘𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
20		simp11 1202	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simp121 1304	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
22		simp122 1305	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐷 ∈ 𝑇)
23	20, 21, 22	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
25		simp123 1306	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
26		simp131 1307	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
27		simp132 1308	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
28	25, 26, 27	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇))
29		simp21 1205	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
30		simp221 1313	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
31	28, 29, 30	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
33		simp222 1314	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34		simp223 1315	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
35		simp231 1316	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
36	33, 34, 35	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
38		simp232 1317	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
39		simp311 1319	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶))
40		simp312 1320	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹))
41	38, 39, 40	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹)))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹)))
43		simp313 1321	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))
45		simpl32 1254	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))
46		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷))
47	44, 45, 46	3jca 1127	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))
48	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemk22-3 40884	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
49	24, 32, 37, 42, 47, 48	syl113anc 1381	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷)) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))
50	19, 49	pm2.61dane 3027	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5582  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142

This theorem is referenced by:  cdlemk26-3  40889