Theorem cdlemk23-3 40941

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐷) requirement from cdlemk22-3 40940. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk23-3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ≤ ,𝑒   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (𝑥)   𝐾(𝑥,𝑒,𝑓,𝑑)   ≤ (𝑥,𝑓,𝑑)   ∧ (𝑥)   𝑁(𝑥,𝑒,𝑑)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk23-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp121 1306	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp122 1307	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐷 ∈ 𝑇)
4		simp123 1308	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
5		simp131 1309	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
6		simp133 1311	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
7	4, 5, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇))
8		simp21 1207	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
9		simp221 1315	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
10		simp222 1316	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11		simp223 1317	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
12		simp231 1318	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
14		simp233 1320	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))
15		simp333 1329	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥))
16		simp332 1328	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹))
17	14, 15, 16	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹)))
18		simp313 1323	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))
19		simp32l 1299	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))
20		simp331 1327	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷))
21	18, 19, 20	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))
22		cdlemk3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
23		cdlemk3.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24		cdlemk3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25		cdlemk3.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
26		cdlemk3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
27		cdlemk3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
28		cdlemk3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
29		cdlemk3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
30		cdlemk3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
31		cdlemk3.u1	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
32	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	cdlemk22-3 40940	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝑥𝑌𝐺)‘𝑃))
33	1, 2, 3, 7, 8, 9, 13, 17, 21, 32	syl333anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝑥𝑌𝐺)‘𝑃))
34		simp132 1310	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
35		simp232 1319	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
36	10, 35, 12	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
37		simp312 1322	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹))
38		simp311 1321	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶))
39		simp32r 1300	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶))
40	37, 38, 39	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)))
41	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	cdlemk22-3 40940	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)))) → ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝑥𝑌𝐺)‘𝑃))
42	1, 2, 34, 7, 8, 9, 36, 17, 40, 41	syl333anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝑥𝑌𝐺)‘𝑃))
43	33, 42	eqtr4d 2769	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑥)))) → ((𝐷𝑌𝐺)‘𝑃) = ((𝐶𝑌𝐺)‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5505  ^◡ccnv 5610   ↾ cres 5613   ∘ ccom 5615  ‘cfv 6476  ℩crio 7297  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Basecbs 17115  lecple 17163  joincjn 18212  meetcmee 18213  Atomscatm 39302  HLchlt 39389  LHypclh 40023  LTrncltrn 40140  trLctrl 40197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-undef 8198  df-map 8747  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198

This theorem is referenced by:  cdlemk24-3  40942