Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp121 1306 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΉ β π) |
3 | | simp122 1307 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π· β π) |
4 | | simp123 1308 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π β π) |
5 | | simp131 1309 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΊ β π) |
6 | | simp133 1311 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π₯ β π) |
7 | 4, 5, 6 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π β π β§ πΊ β π β§ π₯ β π)) |
8 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | simp221 1315 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
10 | | simp222 1316 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
11 | | simp223 1317 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
12 | | simp231 1318 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
13 | 10, 11, 12 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
14 | | simp233 1320 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β π₯ β ( I βΎ π΅)) |
15 | | simp333 1329 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΊ) β (π
βπ₯)) |
16 | | simp332 1328 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ₯) β (π
βπΉ)) |
17 | 14, 15, 16 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π₯ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ))) |
18 | | simp313 1323 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
19 | | simp32l 1299 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΊ) β (π
βπ·)) |
20 | | simp331 1327 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ₯) β (π
βπ·)) |
21 | 18, 19, 20 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπ·))) |
22 | | cdlemk3.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
23 | | cdlemk3.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
24 | | cdlemk3.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
25 | | cdlemk3.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | | cdlemk3.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
27 | | cdlemk3.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
28 | | cdlemk3.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
29 | | cdlemk3.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
30 | | cdlemk3.s |
. . . 4
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
31 | | cdlemk3.u1 |
. . . 4
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
32 | 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 | cdlemk22-3 39410 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π₯ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π₯ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπ·)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((π₯ππΊ)βπ)) |
33 | 1, 2, 3, 7, 8, 9, 13, 17, 21, 32 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((π₯ππΊ)βπ)) |
34 | | simp132 1310 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΆ β π) |
35 | | simp232 1319 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β πΆ β ( I βΎ π΅)) |
36 | 10, 35, 12 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
37 | | simp312 1322 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) |
38 | | simp311 1321 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπΊ) β (π
βπΆ)) |
39 | | simp32r 1300 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) |
40 | 37, 38, 39 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ))) |
41 | 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 | cdlemk22-3 39410 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΆ β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π₯ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π₯ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)))) β ((πΆππΊ)βπ) = ((π₯ππΊ)βπ)) |
42 | 1, 2, 34, 7, 8, 9,
36, 17, 40, 41 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((πΆππΊ)βπ) = ((π₯ππΊ)βπ)) |
43 | 33, 42 | eqtr4d 2776 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (πΊ β π β§ πΆ β π β§ π₯ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ π₯ β ( I βΎ π΅))) β§ (((π
βπΊ) β (π
βπΆ) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΆ)) β§ ((π
βπ₯) β (π
βπ·) β§ (π
βπ₯) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ₯)))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((πΆππΊ)βπ)) |