Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk23-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk23-3 39411
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Eliminate the (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜π·) requirement from cdlemk22-3 39410. (Contributed by NM, 7-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk3.u1 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk23-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝐷,𝑒,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝐹,𝑑,𝑒   ≀ ,𝑒   𝐢,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝐺,𝑖   π‘₯,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑖)   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (π‘₯,𝑓,𝑑)   ∧ (π‘₯)   𝑁(π‘₯,𝑒,𝑑)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk23-3
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp121 1306 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simp122 1307 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
4 simp123 1308 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
5 simp131 1309 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 simp133 1311 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
74, 5, 63jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇))
8 simp21 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
9 simp221 1315 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
10 simp222 1316 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
11 simp223 1317 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
12 simp231 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
1310, 11, 123jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
14 simp233 1320 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
15 simp333 1329 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯))
16 simp332 1328 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
1714, 15, 163jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
18 simp313 1323 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
19 simp32l 1299 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·))
20 simp331 1327 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·))
2118, 19, 203jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))
22 cdlemk3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
23 cdlemk3.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
24 cdlemk3.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 cdlemk3.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
26 cdlemk3.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
27 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
28 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
29 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
30 cdlemk3.s . . . 4 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
31 cdlemk3.u1 . . . 4 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
3222, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31cdlemk22-3 39410 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘₯π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
331, 2, 3, 7, 8, 9, 13, 17, 21, 32syl333anc 1403 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘₯π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
34 simp132 1310 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
35 simp232 1319 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3610, 35, 123jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
37 simp312 1322 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
38 simp311 1321 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ))
39 simp32r 1300 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ))
4037, 38, 393jca 1129 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)))
4122, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31cdlemk22-3 39410 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)))) β†’ ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘₯π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
421, 2, 34, 7, 8, 9, 36, 17, 40, 41syl333anc 1403 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘₯π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
4333, 42eqtr4d 2776 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΆ) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΆ)) ∧ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜π·) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π·π‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ) = ((πΆπ‘ŒπΊ)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemk24-3  39412
  Copyright terms: Public domain W3C validator