Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk3.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk3.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk3.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk3.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk3.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk3.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk3.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk3.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk3.s |
. . 3
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
10 | | cdlemk3.u1 |
. . 3
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk31 39405 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πππΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |
12 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
13 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉ β π β§ π β π β§ π β π)) |
14 | | simp31l 1297 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπ) β (π
βπΉ)) |
15 | | simp321 1324 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
16 | | simp322 1325 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β ( I βΎ π΅)) |
17 | 15, 16 | jca 513 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅))) |
18 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
19 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | cdlemk30 39403 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ ((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπ)βπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))) |
20 | 12, 13, 14, 17, 18, 19 | syl113anc 1383 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπ)βπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))) |
21 | 20 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))) = (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) |
22 | 21 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |
23 | 11, 22 | eqtrd 2773 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β π β§ π β π β§ π β π) β§ πΊ β π) β§ (((π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πππΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) β¨ (π
β(πΊ β β‘π))))) |