Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk30 37512
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: fix comment. Part of attempt to simplify hypotheses. (Contributed by NM, 17-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk30 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   𝑓,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑆(𝑓,𝑖,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐻(𝑓,𝑏)   (𝑏)   𝐾(𝑓,𝑏)   (𝑓,𝑏)   (𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem cdlemk30
StepHypRef Expression
1 simp1l 1178 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21 1187 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹𝑇)
3 simp22 1188 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑏𝑇)
4 simp23 1189 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑁𝑇)
5 simp33 1192 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
6 simp1r 1179 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
7 simp32l 1279 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
8 simp32r 1280 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
9 simp31 1190 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))
10 cdlemk3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 cdlemk3.l . . 3 = (le‘𝐾)
12 cdlemk3.j . . 3 = (join‘𝐾)
13 cdlemk3.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemk3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemk3.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk3.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk3.m . . 3 = (meet‘𝐾)
18 cdlemk3.s . . 3 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
1910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemksv2 37465 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19syl333anc 1383 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑆𝑏)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960   class class class wbr 4925  cmpt 5004   I cid 5307  ccnv 5402  cres 5405  ccom 5407  cfv 6185  crio 6934  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  lecple 16426  joincjn 17424  meetcmee 17425  Atomscatm 35881  HLchlt 35968  LHypclh 36602  LTrncltrn 36719  trLctrl 36776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-riotaBAD 35571
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-undef 7740  df-map 8206  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969  df-llines 36116  df-lplanes 36117  df-lvols 36118  df-lines 36119  df-psubsp 36121  df-pmap 36122  df-padd 36414  df-lhyp 36606  df-laut 36607  df-ldil 36722  df-ltrn 36723  df-trl 36777
This theorem is referenced by:  cdlemk32  37515  cdlemky  37544  cdlemkyyN  37580
  Copyright terms: Public domain W3C validator