Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk4.x |
. . . . . 6
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) |
2 | 1 | eqcomi 2742 |
. . . . 5
β’
(β©π§
β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) = π |
3 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simpl2 1193 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅))) |
5 | | simpl3 1194 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
6 | | simpr1 1195 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β π β π) |
7 | | simpr2 1196 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simpr3 1197 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
9 | | cdlemk4.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
10 | | cdlemk4.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdlemk4.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdlemk4.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdlemk4.a |
. . . . . . . 8
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdlemk4.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdlemk4.t |
. . . . . . . 8
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
16 | | cdlemk4.r |
. . . . . . . 8
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
17 | | cdlemk4.z |
. . . . . . . 8
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
18 | | cdlemk4.y |
. . . . . . . 8
β’ π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘π)))) |
19 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1 | cdlemk35 39421 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β π β π) |
20 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 19 | syl132anc 1389 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β π β π) |
21 | 1, 20 | eqeltrrid 2839 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) β π) |
22 | 15 | fvexi 6857 |
. . . . . . . 8
β’ π β V |
23 | 22 | riotaclbBAD 37463 |
. . . . . . 7
β’
(β!π§ β
π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) β π) |
24 | 21, 23 | sylibr 233 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) |
25 | | nfriota1 7321 |
. . . . . . . 8
β’
β²π§(β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) |
26 | 1, 25 | nfcxfr 2902 |
. . . . . . 7
β’
β²π§π |
27 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
β’
β²π§π |
28 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π§(π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) |
29 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π§π |
30 | 26, 29 | nffv 6853 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π§(πβπ) |
31 | 30 | nfeq1 2919 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π§(πβπ) = π |
32 | 28, 31 | nfim 1900 |
. . . . . . . 8
β’
β²π§((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π) |
33 | 27, 32 | nfralw 3293 |
. . . . . . 7
β’
β²π§βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π) |
34 | | nfra1 3266 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²πβπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) |
35 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²ππ |
36 | 34, 35 | nfriota 7327 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π(β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) |
37 | 1, 36 | nfcxfr 2902 |
. . . . . . . . 9
β’
β²ππ |
38 | 37 | nfeq2 2921 |
. . . . . . . 8
β’
β²π π§ = π |
39 | | fveq1 6842 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π§ = π β (π§βπ) = (πβπ)) |
40 | 39 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π β ((π§βπ) = π β (πβπ) = π)) |
41 | 40 | imbi2d 341 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = π β (((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π))) |
42 | 38, 41 | ralbid 3255 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = π β (βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π))) |
43 | 26, 33, 42 | riota2f 7339 |
. . . . . 6
β’ ((π β π β§ β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) β (βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) = π)) |
44 | 20, 24, 43 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = π)) = π)) |
45 | 2, 44 | mpbiri 258 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π)) |
46 | | rsp 3229 |
. . . 4
β’
(βπ β
π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π) β (π β π β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π))) |
47 | 45, 46 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β (π β π β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (πβπ) = π))) |
48 | 47 | impd 412 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) β ((π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) β (πβπ) = π)) |
49 | 48 | 3impia 1118 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β§ (πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (πβπ) = π) |