Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk35s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk35s 36712
Description: Substitution version of cdlemk35 36687. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk35s (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk35s
StepHypRef Expression
1 simp22l 1384 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺𝑇)
2 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
4 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
5 cdlemk5.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
6 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemk5.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
11 cdlemk5.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
12 cdlemk5.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemk35 36687 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑋𝑇)
1413sbcth 3642 . . . 4 (𝐺𝑇[𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑋𝑇))
15 sbcimg 3669 . . . 4 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝑋𝑇) ↔ ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → [𝐺 / 𝑔]𝑋𝑇)))
1614, 15mpbid 223 . . 3 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → [𝐺 / 𝑔]𝑋𝑇))
17 eleq1 2869 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑇𝐺𝑇))
18 neeq1 3036 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
1917, 18anbi12d 618 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ↔ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))))
20193anbi2d 1558 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ↔ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇)))
21203anbi2d 1558 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))))
2221sbcieg 3660 . . 3 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))))
23 sbcel1g 4178 . . 3 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑋𝑇𝐺 / 𝑔𝑋𝑇))
2416, 22, 233imtr3d 284 . 2 (𝐺𝑇 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇))
251, 24mpcom 38 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  [wsbc 3627  csb 3722   class class class wbr 4837   I cid 5212  ccnv 5304  cres 5307  ccom 5309  cfv 6095  crio 6828  (class class class)co 6868  Basecbs 16062  lecple 16154  joincjn 17143  meetcmee 17144  Atomscatm 35037  HLchlt 35124  LHypclh 35758  LTrncltrn 35875  trLctrl 35933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-riotaBAD 34726
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-undef 7628  df-map 8088  df-proset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-oposet 34950  df-ol 34952  df-oml 34953  df-covers 35040  df-ats 35041  df-atl 35072  df-cvlat 35096  df-hlat 35125  df-llines 35272  df-lplanes 35273  df-lvols 35274  df-lines 35275  df-psubsp 35277  df-pmap 35278  df-padd 35570  df-lhyp 35762  df-laut 35763  df-ldil 35878  df-ltrn 35879  df-trl 35934
This theorem is referenced by:  cdlemk35s-id  36713  cdlemk47  36724  cdlemk48  36725  cdlemk49  36726  cdlemk50  36727  cdlemk51  36728  cdlemk52  36729  cdlemk53a  36730
  Copyright terms: Public domain W3C validator