Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml6 40363
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml6.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml6.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleml6.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleml6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml6.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.p 𝑄 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.z 𝑍 = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((β„Žβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜β„Ž)))))
cdleml6.y π‘Œ = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdleml6.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘„) = π‘Œ))
cdleml6.u π‘ˆ = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((π‘ β€˜β„Ž) = β„Ž, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cdleml6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = β„Ž))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   β„Ž,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑇(β„Ž,𝑠)   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,β„Ž,𝑠)   ∨ (𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐾(𝑓,β„Ž,𝑠)   ∧ (𝑓,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   π‘Œ(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,β„Ž,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cdleml6
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp3l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
3 simp2 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
4 cdleml6.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdleml6.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdleml6.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6tendocl 40149 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜β„Ž) ∈ 𝑇)
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ β€˜β„Ž) ∈ 𝑇)
9 cdleml6.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 cdleml6.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdleml6.o . . . 4 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
129, 4, 5, 10, 6, 11tendotr 40212 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 ) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = (π‘…β€˜β„Ž))
13123com23 1123 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = (π‘…β€˜β„Ž))
14 cdleml6.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdleml6.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 eqid 2726 . . 3 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
17 eqid 2726 . . 3 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
18 cdleml6.p . . 3 𝑄 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdleml6.z . . 3 𝑍 = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((β„Žβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜β„Ž)))))
20 cdleml6.y . . 3 π‘Œ = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
21 cdleml6.x . . 3 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘„) = π‘Œ))
22 cdleml6.u . . 3 π‘ˆ = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((π‘ β€˜β„Ž) = β„Ž, 𝑔, 𝑋))
239, 14, 15, 16, 17, 4, 5, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 6cdlemk56w 40355 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ β€˜β„Ž) ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = (π‘…β€˜β„Ž)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = β„Ž))
241, 8, 3, 13, 23syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = β„Ž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  occoc 17212  joincjn 18274  meetcmee 18275  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  trLctrl 39540  TEndoctendo 40134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tendo 40137
This theorem is referenced by:  cdleml7  40364  cdleml8  40365  erngdvlem4  40373  erngdvlem4-rN  40381
  Copyright terms: Public domain W3C validator