Theorem cdleml6 42018

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleml6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleml6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdleml6.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
cdleml6.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ, 𝑠)   𝑄(𝑓, ℎ, 𝑠)   𝑅(𝑓, ℎ, 𝑠)   𝑇(ℎ, 𝑠)   𝑈(𝑧, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑠, 𝑏)   𝐸(𝑧, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑠, 𝑏)   𝐻(𝑓, ℎ, 𝑠)   ∨ (𝑓, ℎ, 𝑠)   𝐾(𝑓, ℎ, 𝑠)   ∧ (𝑓, ℎ, 𝑠)   𝑊(𝑓, ℎ, 𝑠)   𝑋(𝑧, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑠, 𝑏)   𝑌(𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑠, 𝑏)   0 (𝑧, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑠, 𝑏)   𝑍(𝑧, 𝑓, ℎ, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cdleml6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp3l 1220	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
3		simp2 1155	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ℎ ∈ 𝑇)
4		cdleml6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdleml6.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	tendocl 41804	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑠‘ℎ) ∈ 𝑇)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑠‘ℎ) ∈ 𝑇)
9		cdleml6.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		cdleml6.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11		cdleml6.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
12	9, 4, 5, 10, 6, 11	tendotr 41867	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) = (𝑅‘ℎ))
13	12	3com23 1144	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) = (𝑅‘ℎ))
14		cdleml6.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		cdleml6.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
18		cdleml6.p	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
19		cdleml6.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
20		cdleml6.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
21		cdleml6.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
22		cdleml6.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
23	9, 14, 15, 16, 17, 4, 5, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 6	cdlemk56w 42010	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘ℎ) ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) = (𝑅‘ℎ)) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
24	1, 8, 3, 13, 23	syl121anc 1402	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6537  ℩crio 7374  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  occoc 17429  joincjn 18478  meetcmee 18479  Atomscatm 40300  HLchlt 40387  LHypclh 41021  LTrncltrn 41138  trLctrl 41195  TEndoctendo 41789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-riotaBAD 39990

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8283  df-map 8842  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-llines 40535  df-lplanes 40536  df-lvols 40537  df-lines 40538  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-padd 40833  df-lhyp 41025  df-laut 41026  df-ldil 41141  df-ltrn 41142  df-trl 41196  df-tendo 41792

This theorem is used by:  cdleml7  42019  cdleml8  42020  erngdvlem4  42028  erngdvlem4-rN  42036