Theorem cdleml4N 40340

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml4N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleml1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdleml1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdleml1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 39929	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5	4	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		simp11 1200	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simp12l 1283	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
8		simp12r 1284	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
9		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
10		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
11		simp13l 1285	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 0 )
12		simp13r 1286	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑉 ≠ 0 )
13		cdleml1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14		cdleml1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		cdleml3.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16	1, 2, 3, 13, 14, 15	cdleml3N 40339	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
17	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16	syl133anc 1390	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
18	17	rexlimdv3a 3151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → (∃𝑓 ∈ 𝑇 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉))
19	5, 18	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6533  Basecbs 17143  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519  TEndoctendo 40113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38313

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tendo 40116

This theorem is referenced by:  cdleml5N  40341