Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml5N 39493
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml3.o 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cdleml5N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠,𝑔   𝐡,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 cdleml1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 39303 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ 𝐸)
81, 7syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ 0 ∈ 𝐸)
9 simpl2l 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
102, 3, 4, 5, 6tendo0mul 39339 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 0 )
111, 9, 10syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 0 )
12 simpr 486 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ 𝑉 = 0 )
1311, 12eqtr4d 2776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
14 coeq1 5817 . . . . 5 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = ( 0 ∘ π‘ˆ))
1514eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑠 = 0 β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
1615rspcev 3583 . . 3 (( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
178, 13, 16syl2anc 585 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
18 simpl1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simpl2 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸))
20 simpl3 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ β‰  0 )
21 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ 𝑉 β‰  0 )
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
232, 3, 4, 22, 5, 6cdleml4N 39492 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
2517, 24pm2.61dane 3029 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  TEndoctendo 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator