Theorem cdleml5N 41443

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdleml1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleml1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdleml1.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdleml1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml3.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 41253	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐸)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0 ∈ 𝐸)
9		simpl2l 1228	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐸)
10	2, 3, 4, 5, 6	tendo0mul 41289	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
11	1, 9, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
13	11, 12	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉)
14		coeq1 5807	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∘ 𝑈) = ( 0 ∘ 𝑈))
15	14	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉))
16	15	rspcev 3565	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
17	8, 13, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
18		simpl1 1193	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1194	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸))
20		simpl3 1195	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑈 ≠ 0 )
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑉 ≠ 0 )
22		cdleml1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	2, 3, 4, 22, 5, 6	cdleml4N 41442	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
24	18, 19, 20, 21, 23	syl112anc 1377	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
25	17, 24	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ↦ cmpt 5167   I cid 5519   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  HLchlt 39813  LHypclh 40447  LTrncltrn 40564  trLctrl 40621  TEndoctendo 41215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-riotaBAD 39416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-undef 8217  df-map 8769  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-llines 39961  df-lplanes 39962  df-lvols 39963  df-lines 39964  df-psubsp 39966  df-pmap 39967  df-padd 40259  df-lhyp 40451  df-laut 40452  df-ldil 40567  df-ltrn 40568  df-trl 40622  df-tendo 41218

This theorem is referenced by: (None)