Theorem cdleml5N 40963

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdleml1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleml1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdleml1.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdleml1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml3.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 40773	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐸)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0 ∈ 𝐸)
9		simpl2l 1227	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐸)
10	2, 3, 4, 5, 6	tendo0mul 40809	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
11	1, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
13	11, 12	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉)
14		coeq1 5800	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∘ 𝑈) = ( 0 ∘ 𝑈))
15	14	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉))
16	15	rspcev 3577	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
17	8, 13, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
18		simpl1 1192	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1193	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸))
20		simpl3 1194	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑈 ≠ 0 )
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑉 ≠ 0 )
22		cdleml1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	2, 3, 4, 22, 5, 6	cdleml4N 40962	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
24	18, 19, 20, 21, 23	syl112anc 1376	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
25	17, 24	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ↦ cmpt 5173   I cid 5513   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  HLchlt 39333  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-riotaBAD 38936

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-undef 8206  df-map 8755  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39159  df-ol 39161  df-oml 39162  df-covers 39249  df-ats 39250  df-atl 39281  df-cvlat 39305  df-hlat 39334  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738

This theorem is referenced by: (None)