Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml5N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml5N 40154
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml3.o 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cdleml5N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠,𝑔   𝐡,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)
Proof of Theorem cdleml5N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 cdleml1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 39964 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ 𝐸)
81, 7syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ 0 ∈ 𝐸)
9 simpl2l 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
102, 3, 4, 5, 6tendo0mul 40000 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 0 )
111, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 0 )
12 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ 𝑉 = 0 )
1311, 12eqtr4d 2775 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
14 coeq1 5857 . . . . 5 (𝑠 = 0 β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = ( 0 ∘ π‘ˆ))
1514eqeq1d 2734 . . . 4 (𝑠 = 0 β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
1615rspcev 3612 . . 3 (( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ π‘ˆ) = 𝑉) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
178, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
18 simpl1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simpl2 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸))
20 simpl3 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ β‰  0 )
21 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ 𝑉 β‰  0 )
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
232, 3, 4, 22, 5, 6cdleml4N 40153 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) ∧ 𝑉 β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
2517, 24pm2.61dane 3029 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ π‘ˆ β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332  TEndoctendo 39926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator