Theorem cdleml5N 41426

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdleml1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleml1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdleml1.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdleml1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml3.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 41236	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐸)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0 ∈ 𝐸)
9		simpl2l 1228	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐸)
10	2, 3, 4, 5, 6	tendo0mul 41272	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
11	1, 9, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
13	11, 12	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉)
14		coeq1 5812	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∘ 𝑈) = ( 0 ∘ 𝑈))
15	14	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉))
16	15	rspcev 3564	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
17	8, 13, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
18		simpl1 1193	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1194	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸))
20		simpl3 1195	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑈 ≠ 0 )
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑉 ≠ 0 )
22		cdleml1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	2, 3, 4, 22, 5, 6	cdleml4N 41425	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
24	18, 19, 20, 21, 23	syl112anc 1377	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
25	17, 24	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  HLchlt 39796  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547  trLctrl 40604  TEndoctendo 41198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-undef 8223  df-map 8775  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tendo 41201

This theorem is referenced by: (None)