Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml5N 38650
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdleml1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 38460 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐸)
81, 7syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0𝐸)
9 simpl2l 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈𝐸)
102, 3, 4, 5, 6tendo0mul 38496 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ( 0𝑈) = 0 )
111, 9, 10syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 0 )
12 simpr 488 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
1311, 12eqtr4d 2777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 𝑉)
14 coeq1 5710 . . . . 5 (𝑠 = 0 → (𝑠𝑈) = ( 0𝑈))
1514eqeq1d 2741 . . . 4 (𝑠 = 0 → ((𝑠𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0𝑈) = 𝑉))
1615rspcev 3529 . . 3 (( 0𝐸 ∧ ( 0𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
178, 13, 16syl2anc 587 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
18 simpl1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝑈𝐸𝑉𝐸))
20 simpl3 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑈0 )
21 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑉0 )
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
232, 3, 4, 22, 5, 6cdleml4N 38649 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2517, 24pm2.61dane 3022 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  cmpt 5120   I cid 5438  cres 5537  ccom 5539  cfv 6350  Basecbs 16599  HLchlt 37020  LHypclh 37654  LTrncltrn 37771  trLctrl 37828  TEndoctendo 38422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-riotaBAD 36623
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-undef 7981  df-map 8452  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829  df-tendo 38425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator