Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml5N 37597
 Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1182 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdleml1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 37407 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐸)
81, 7syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0𝐸)
9 simpl2l 1217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈𝐸)
102, 3, 4, 5, 6tendo0mul 37443 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ( 0𝑈) = 0 )
111, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 0 )
12 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
1311, 12eqtr4d 2832 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 𝑉)
14 coeq1 5606 . . . . 5 (𝑠 = 0 → (𝑠𝑈) = ( 0𝑈))
1514eqeq1d 2795 . . . 4 (𝑠 = 0 → ((𝑠𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0𝑈) = 𝑉))
1615rspcev 3554 . . 3 (( 0𝐸 ∧ ( 0𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
178, 13, 16syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
18 simpl1 1182 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1183 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝑈𝐸𝑉𝐸))
20 simpl3 1184 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑈0 )
21 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑉0 )
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
232, 3, 4, 22, 5, 6cdleml4N 37596 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1365 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2517, 24pm2.61dane 3070 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  ∃wrex 3104   ↦ cmpt 5035   I cid 5339   ↾ cres 5437   ∘ ccom 5439  ‘cfv 6217  Basecbs 16300  HLchlt 35967  LHypclh 36601  LTrncltrn 36718  trLctrl 36775  TEndoctendo 37369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-riotaBAD 35570 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-undef 7781  df-map 8249  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-llines 36115  df-lplanes 36116  df-lvols 36117  df-lines 36118  df-psubsp 36120  df-pmap 36121  df-padd 36413  df-lhyp 36605  df-laut 36606  df-ldil 36721  df-ltrn 36722  df-trl 36776  df-tendo 37372 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator