Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml5N 40453
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdleml1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 cdleml3.o . . . . 5 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 40263 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐸)
81, 7syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0𝐸)
9 simpl2l 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈𝐸)
102, 3, 4, 5, 6tendo0mul 40299 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ( 0𝑈) = 0 )
111, 9, 10syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 0 )
12 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
1311, 12eqtr4d 2771 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0𝑈) = 𝑉)
14 coeq1 5860 . . . . 5 (𝑠 = 0 → (𝑠𝑈) = ( 0𝑈))
1514eqeq1d 2730 . . . 4 (𝑠 = 0 → ((𝑠𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0𝑈) = 𝑉))
1615rspcev 3609 . . 3 (( 0𝐸 ∧ ( 0𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
178, 13, 16syl2anc 583 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
18 simpl1 1189 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpl2 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → (𝑈𝐸𝑉𝐸))
20 simpl3 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑈0 )
21 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → 𝑉0 )
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
232, 3, 4, 22, 5, 6cdleml4N 40452 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ (𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2418, 19, 20, 21, 23syl112anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) ∧ 𝑉0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
2517, 24pm2.61dane 3026 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑈0 ) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067  cmpt 5231   I cid 5575  cres 5680  ccom 5682  cfv 6548  Basecbs 17180  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  trLctrl 39631  TEndoctendo 40225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator