Theorem cdleml5N 41644

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾   0 ,𝑠   𝑇,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdleml1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleml1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdleml1.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdleml1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml3.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 41454	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐸)
8	1, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 0 ∈ 𝐸)
9		simpl2l 1243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐸)
10	2, 3, 4, 5, 6	tendo0mul 41490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
11	1, 9, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 0 )
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → 𝑉 = 0 )
13	11, 12	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉)
14		coeq1 5844	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∘ 𝑈) = ( 0 ∘ 𝑈))
15	14	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉 ↔ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉))
16	15	rspcev 3590	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐸 ∧ ( 0 ∘ 𝑈) = 𝑉) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
17	8, 13, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 = 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
18		simpl1 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpl2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸))
20		simpl3 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑈 ≠ 0 )
21		simpr 489	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → 𝑉 ≠ 0 )
22		cdleml1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	2, 3, 4, 22, 5, 6	cdleml4N 41643	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (𝑈 ≠ 0 ∧ 𝑉 ≠ 0 )) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
24	18, 19, 20, 21, 23	syl112anc 1399	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) ∧ 𝑉 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)
25	17, 24	pm2.61dane 3051	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑈 ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ 𝑈) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  HLchlt 40014  LHypclh 40648  LTrncltrn 40765  trLctrl 40822  TEndoctendo 41416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-riotaBAD 39617

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8269  df-map 8826  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164  df-lines 40165  df-psubsp 40167  df-pmap 40168  df-padd 40460  df-lhyp 40652  df-laut 40653  df-ldil 40768  df-ltrn 40769  df-trl 40823  df-tendo 41419

This theorem is referenced by: (None)