Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml9 40587
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml6.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml6.j = (join‘𝐾)
cdleml6.m = (meet‘𝐾)
cdleml6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml6.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.p 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.z 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
cdleml6.y 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdleml6.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
cdleml6.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈0 )
Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑠)   𝑄(𝑓,,𝑠)   𝑅(𝑓,,𝑠)   𝑇(,𝑠)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,,𝑠)   (𝑓,,𝑠)   𝐾(𝑓,,𝑠)   (𝑓,,𝑠)   𝑊(𝑓,,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cdleml9
StepHypRef Expression
1 cdleml6.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdleml6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 cdleml6.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 cdleml6.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 cdleml6.o . . . 4 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5tendo1ne0 40431 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
763ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
8 cdleml6.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
9 cdleml6.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
10 cdleml6.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11 cdleml6.p . . . . . . 7 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
12 cdleml6.z . . . . . . 7 𝑍 = ((𝑄 (𝑅𝑏)) ((𝑄) (𝑅‘(𝑏(𝑠)))))
13 cdleml6.y . . . . . . 7 𝑌 = ((𝑄 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
14 cdleml6.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠)) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑄) = 𝑌))
15 cdleml6.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if((𝑠) = , 𝑔, 𝑋))
161, 8, 9, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 4, 5cdleml8 40586 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
1716adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) ∧ 𝑈 = 0 ) → (𝑈𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
18 coeq1 5860 . . . . . 6 (𝑈 = 0 → (𝑈𝑠) = ( 0𝑠))
19 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simp3l 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑠𝐸)
211, 2, 3, 4, 5tendo0mul 40429 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → ( 0𝑠) = 0 )
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → ( 0𝑠) = 0 )
2318, 22sylan9eqr 2787 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) ∧ 𝑈 = 0 ) → (𝑈𝑠) = 0 )
2417, 23eqtr3d 2767 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) ∧ 𝑈 = 0 ) → ( I ↾ 𝑇) = 0 )
2524ex 411 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (𝑈 = 0 → ( I ↾ 𝑇) = 0 ))
2625necon3d 2950 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → (( I ↾ 𝑇) ≠ 0𝑈0 ))
277, 26mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠𝐸𝑠0 )) → 𝑈0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  ifcif 4530  cmpt 5232   I cid 5575  ccnv 5677  cres 5680  ccom 5682  cfv 6549  crio 7374  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  occoc 17244  joincjn 18306  meetcmee 18307  HLchlt 38952  LHypclh 39587  LTrncltrn 39704  trLctrl 39761  TEndoctendo 40355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tendo 40358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator