Theorem cdleml9 38995

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleml6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleml6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdleml6.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
cdleml6.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml9	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑠)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑇(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑠)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐾(𝑓,ℎ,𝑠)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cdleml9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleml6.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdleml6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		cdleml6.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		cdleml6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5		cdleml6.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	tendo1ne0 38839	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
7	6	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 0 )
8		cdleml6.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		cdleml6.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		cdleml6.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11		cdleml6.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
12		cdleml6.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
13		cdleml6.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
14		cdleml6.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
15		cdleml6.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
16	1, 8, 9, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 4, 5	cdleml8 38994	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) ∧ 𝑈 = 0 ) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
18		coeq1 5768	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = 0 → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( 0 ∘ 𝑠))
19		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		simp3l 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
21	1, 2, 3, 4, 5	tendo0mul 38837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ( 0 ∘ 𝑠) = 0 )
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ( 0 ∘ 𝑠) = 0 )
23	18, 22	sylan9eqr 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) ∧ 𝑈 = 0 ) → (𝑈 ∘ 𝑠) = 0 )
24	17, 23	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) ∧ 𝑈 = 0 ) → ( I ↾ 𝑇) = 0 )
25	24	ex 413	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 = 0 → ( I ↾ 𝑇) = 0 ))
26	25	necon3d 2964	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑇) ≠ 0 → 𝑈 ≠ 0 ))
27	7, 26	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ifcif 4461   ↦ cmpt 5159   I cid 5490  ^◡ccnv 5590   ↾ cres 5593   ∘ ccom 5595  ‘cfv 6435  ℩crio 7233  (class class class)co 7277  Basecbs 16910  occoc 16968  joincjn 18027  meetcmee 18028  HLchlt 37361  LHypclh 37995  LTrncltrn 38112  trLctrl 38169  TEndoctendo 38763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8087  df-map 8615  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37187  df-ol 37189  df-oml 37190  df-covers 37277  df-ats 37278  df-atl 37309  df-cvlat 37333  df-hlat 37362  df-llines 37509  df-lplanes 37510  df-lvols 37511  df-lines 37512  df-psubsp 37514  df-pmap 37515  df-padd 37807  df-lhyp 37999  df-laut 38000  df-ldil 38115  df-ltrn 38116  df-trl 38170  df-tendo 38766

This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39002  erngdvlem4-rN  39010