Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml8 40488
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml6.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml6.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleml6.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleml6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml6.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.p 𝑄 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.z 𝑍 = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((β„Žβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜β„Ž)))))
cdleml6.y π‘Œ = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdleml6.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘„) = π‘Œ))
cdleml6.u π‘ˆ = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((π‘ β€˜β„Ž) = β„Ž, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml6.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cdleml8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   β„Ž,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑇(β„Ž,𝑠)   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,β„Ž,𝑠)   ∨ (𝑓,β„Ž,𝑠)   𝐾(𝑓,β„Ž,𝑠)   ∧ (𝑓,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑓,β„Ž,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   π‘Œ(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,β„Ž,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cdleml8
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 cdleml6.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleml6.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdleml6.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdleml6.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdleml6.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 cdleml6.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdleml6.p . . . . . 6 𝑄 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdleml6.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((β„Žβ€˜π‘„) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜β„Ž)))))
10 cdleml6.y . . . . . 6 π‘Œ = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
11 cdleml6.x . . . . . 6 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜(π‘ β€˜β„Ž)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘„) = π‘Œ))
12 cdleml6.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((π‘ β€˜β„Ž) = β„Ž, 𝑔, 𝑋))
13 cdleml6.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdleml6.o . . . . . 6 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdleml6 40486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = β„Ž))
16153adant2r 1176 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆβ€˜(π‘ β€˜β„Ž)) = β„Ž))
1716simpld 493 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
18 simp3l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
195, 13tendococl 40277 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
201, 17, 18, 19syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
215, 6, 13tendoidcl 40274 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
22213ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
232, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdleml7 40487 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑠)β€˜β„Ž) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜β„Ž))
24233adant2r 1176 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑠)β€˜β„Ž) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜β„Ž))
25 simp2 1134 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
262, 5, 6, 13tendocan 40329 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆ ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ((π‘ˆ ∘ 𝑠)β€˜β„Ž) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜β„Ž)) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
271, 20, 22, 24, 25, 26syl131anc 1380 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235   I cid 5579  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  occoc 17248  joincjn 18310  meetcmee 18311  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663  TEndoctendo 40257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260
This theorem is referenced by:  cdleml9  40489  erngdvlem4  40496  erngdvlem4-rN  40504
  Copyright terms: Public domain W3C validator