Theorem cdleml8 41475

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleml6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleml6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdleml6.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
cdleml6.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml8	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑠)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑇(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑠)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐾(𝑓,ℎ,𝑠)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cdleml8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdleml6.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleml6.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdleml6.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdleml6.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdleml6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		cdleml6.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		cdleml6.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9		cdleml6.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
10		cdleml6.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
11		cdleml6.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
12		cdleml6.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
13		cdleml6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		cdleml6.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cdleml6 41473	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
16	15	3adant2r 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
17	16	simpld 495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ∈ 𝐸)
18		simp3l 1208	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
19	5, 13	tendococl 41264	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
20	1, 17, 18, 19	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
21	5, 6, 13	tendoidcl 41261	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
23	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cdleml7 41474	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ))
24	23	3adant2r 1186	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ))
25		simp2 1143	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)))
26	2, 5, 6, 13	tendocan 41316	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ)) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
27	1, 20, 22, 24, 25, 26	syl131anc 1391	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ifcif 4454   ↦ cmpt 5153   I cid 5512  ^◡ccnv 5617   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  ℩crio 7312  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  occoc 17219  joincjn 18268  meetcmee 18269  HLchlt 39842  LHypclh 40476  LTrncltrn 40593  trLctrl 40650  TEndoctendo 41244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-riotaBAD 39445

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-undef 8213  df-map 8765  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-llines 39990  df-lplanes 39991  df-lvols 39992  df-lines 39993  df-psubsp 39995  df-pmap 39996  df-padd 40288  df-lhyp 40480  df-laut 40481  df-ldil 40596  df-ltrn 40597  df-trl 40651  df-tendo 41247

This theorem is referenced by:  cdleml9  41476  erngdvlem4  41483  erngdvlem4-rN  41491