Theorem cdleml8 38997

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleml6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleml6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdleml6.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
cdleml6.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml8	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑠)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑇(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑠)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐾(𝑓,ℎ,𝑠)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cdleml8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdleml6.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleml6.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdleml6.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdleml6.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdleml6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		cdleml6.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		cdleml6.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9		cdleml6.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
10		cdleml6.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
11		cdleml6.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
12		cdleml6.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
13		cdleml6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		cdleml6.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cdleml6 38995	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
16	15	3adant2r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
17	16	simpld 495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ∈ 𝐸)
18		simp3l 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
19	5, 13	tendococl 38786	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
20	1, 17, 18, 19	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸)
21	5, 6, 13	tendoidcl 38783	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
23	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cdleml7 38996	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ))
24	23	3adant2r 1178	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ))
25		simp2 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)))
26	2, 5, 6, 13	tendocan 38838	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∘ 𝑠) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ)) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))
27	1, 20, 22, 24, 25, 26	syl131anc 1382	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∘ 𝑠) = ( I ↾ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ifcif 4459   ↦ cmpt 5157   I cid 5488  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  occoc 16970  joincjn 18029  meetcmee 18030  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172  TEndoctendo 38766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769

This theorem is referenced by:  cdleml9  38998  erngdvlem4  39005  erngdvlem4-rN  39013