Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo1ne0 36977
Description: The identity (unity) is not equal to the zero trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo1ne0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo1ne0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 36717 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 simp3 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 fveq1 6445 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
76adantl 475 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
8 simpl2 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔𝑇)
9 fvresi 6706 . . . . . . . 8 (𝑔𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
11 tendoid0.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1211, 1tendo02 36936 . . . . . . . 8 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
147, 10, 133eqtr3d 2821 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵))
1514ex 403 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝑇) = 𝑂𝑔 = ( I ↾ 𝐵)))
1615necon3d 2989 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
175, 16mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
1817rexlimdv3a 3214 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
194, 18mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wrex 3090  cmpt 4965   I cid 5260  cres 5357  cfv 6135  Basecbs 16255  HLchlt 35499  LHypclh 36133  LTrncltrn 36250  TEndoctendo 36901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35102
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-undef 7681  df-map 8142  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308
This theorem is referenced by:  cdleml9  37133  erngdvlem4  37140  erng1r  37144  erngdvlem4-rN  37148  dvalveclem  37174  dvheveccl  37261  dihord6apre  37405  dihatlat  37483
  Copyright terms: Public domain W3C validator