Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo1ne0 38072
 Description: The identity (unity) is not equal to the zero trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo1ne0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo1ne0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 37812 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
76adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
8 simpl2 1189 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔𝑇)
9 fvresi 6926 . . . . . . . 8 (𝑔𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
11 tendoid0.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1211, 1tendo02 38031 . . . . . . . 8 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
147, 10, 133eqtr3d 2867 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵))
1514ex 416 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝑇) = 𝑂𝑔 = ( I ↾ 𝐵)))
1615necon3d 3035 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
175, 16mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
1817rexlimdv3a 3278 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
194, 18mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134   ↦ cmpt 5132   I cid 5446   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  HLchlt 36594  LHypclh 37228  LTrncltrn 37345  TEndoctendo 37996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36197 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-undef 7935  df-map 8404  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-covers 36510  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-llines 36742  df-lplanes 36743  df-lvols 36744  df-lines 36745  df-psubsp 36747  df-pmap 36748  df-padd 37040  df-lhyp 37232  df-laut 37233  df-ldil 37348  df-ltrn 37349  df-trl 37403 This theorem is referenced by:  cdleml9  38228  erngdvlem4  38235  erng1r  38239  erngdvlem4-rN  38243  dvalveclem  38269  dvheveccl  38356  dihord6apre  38500  dihatlat  38578
 Copyright terms: Public domain W3C validator