Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendo1ne0 40003
Description: The identity (unity) is not equal to the zero trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendo1ne0 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendo1ne0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid0.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoid0.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39743 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
5 simp3 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
76adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
8 simpl2 1191 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
9 fvresi 7173 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
11 tendoid0.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
1211, 1tendo02 39962 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
147, 10, 133eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂) β†’ 𝑔 = ( I β†Ύ 𝐡))
1514ex 412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂 β†’ 𝑔 = ( I β†Ύ 𝐡)))
1615necon3d 2960 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂))
175, 16mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
1817rexlimdv3a 3158 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂))
194, 18mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  TEndoctendo 39927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8262  df-map 8826  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334
This theorem is referenced by:  cdleml9  40159  erngdvlem4  40166  erng1r  40170  erngdvlem4-rN  40174  dvalveclem  40200  dvheveccl  40287  dihord6apre  40431  dihatlat  40509
  Copyright terms: Public domain W3C validator