Theorem tendo1ne0 41622

Description: The identity (unity) is not equal to the zero trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo1ne0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo1ne0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 41362	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
7	6	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
8		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 ∈ 𝑇)
9		fvresi 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
11		tendoid0.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
12	11, 1	tendo02 41581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
14	7, 10, 13	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵))
15	14	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵)))
16	15	necon3d 2979	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
17	5, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
18	17	rexlimdv3a 3170	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
19	4, 18	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  HLchlt 40144  LHypclh 40778  LTrncltrn 40895  TEndoctendo 41546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39747

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292  df-lplanes 40293  df-lvols 40294  df-lines 40295  df-psubsp 40297  df-pmap 40298  df-padd 40590  df-lhyp 40782  df-laut 40783  df-ldil 40898  df-ltrn 40899  df-trl 40953

This theorem is referenced by:  cdleml9  41778  erngdvlem4  41785  erng1r  41789  erngdvlem4-rN  41793  dvalveclem  41819  dvheveccl  41906  dihord6apre  42050  dihatlat  42128