Theorem tendo1ne0 41526

Description: The identity (unity) is not equal to the zero trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo1ne0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo1ne0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 41266	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5		simp3 1154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		fveq1 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
7	6	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
8		simpl2 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 ∈ 𝑇)
9		fvresi 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
11		tendoid0.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
12	11, 1	tendo02 41485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
14	7, 10, 13	3eqtr3d 2812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵))
15	14	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵)))
16	15	necon3d 2985	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
17	5, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
18	17	rexlimdv3a 3176	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
19	4, 18	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  HLchlt 40048  LHypclh 40682  LTrncltrn 40799  TEndoctendo 41450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-riotaBAD 39651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8269  df-map 8826  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39874  df-ol 39876  df-oml 39877  df-covers 39964  df-ats 39965  df-atl 39996  df-cvlat 40020  df-hlat 40049  df-llines 40196  df-lplanes 40197  df-lvols 40198  df-lines 40199  df-psubsp 40201  df-pmap 40202  df-padd 40494  df-lhyp 40686  df-laut 40687  df-ldil 40802  df-ltrn 40803  df-trl 40857

This theorem is referenced by:  cdleml9  41682  erngdvlem4  41689  erng1r  41693  erngdvlem4-rN  41697  dvalveclem  41723  dvheveccl  41810  dihord6apre  41954  dihatlat  42032