Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo1ne0 40433
Description: The identity (unity) is not equal to the zero trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo1ne0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo1ne0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 40173 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 fveq1 6895 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇) = 𝑂 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
76adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
8 simpl2 1189 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔𝑇)
9 fvresi 7182 . . . . . . . 8 (𝑔𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
11 tendoid0.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
1211, 1tendo02 40392 . . . . . . . 8 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
147, 10, 133eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → 𝑔 = ( I ↾ 𝐵))
1514ex 411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝑇) = 𝑂𝑔 = ( I ↾ 𝐵)))
1615necon3d 2950 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
175, 16mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
1817rexlimdv3a 3148 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂))
194, 18mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cmpt 5232   I cid 5575  cres 5680  cfv 6549  Basecbs 17188  HLchlt 38954  LHypclh 39589  LTrncltrn 39706  TEndoctendo 40357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-riotaBAD 38557
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-llines 39103  df-lplanes 39104  df-lvols 39105  df-lines 39106  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593  df-laut 39594  df-ldil 39709  df-ltrn 39710  df-trl 39764
This theorem is referenced by:  cdleml9  40589  erngdvlem4  40596  erng1r  40600  erngdvlem4-rN  40604  dvalveclem  40630  dvheveccl  40717  dihord6apre  40861  dihatlat  40939
  Copyright terms: Public domain W3C validator