Theorem cjreim 15207

Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Proof of Theorem cjreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11185	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 11154	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11185	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 11179	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		cjadd 15188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
7	1, 5, 6	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
8		cjre 15186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
9		cjmul 15189	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
10	2, 3, 9	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
11		cji 15206	. . . . . 6 ⊢ (∗‘i) = -i
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘i) = -i)
13		cjre 15186	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘𝐵) = 𝐵)
14	12, 13	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐵)) = (-i · 𝐵))
15		mulneg1 11645	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
16	2, 3, 15	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
17	10, 14, 16	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = -(i · 𝐵))
18	8, 17	oveqan12d 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))) = (𝐴 + -(i · 𝐵)))
19		negsub 11501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
20	1, 5, 19	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
21	7, 18, 20	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437  ∗ccj 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148

This theorem is referenced by:  cjreim2  15208  dipcj  31066  lnophmlem2  32369