MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjreim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjreim 15111
Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
cjreim ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))

Proof of Theorem cjreim
StepHypRef Expression
1 recn 11199 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11168 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
3 recn 11199 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11193 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 cjadd 15092 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต))))
71, 5, 6syl2an 595 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต))))
8 cjre 15090 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ๐ด)
9 cjmul 15093 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
102, 3, 9sylancr 586 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
11 cji 15110 . . . . . 6 (โˆ—โ€˜i) = -i
1211a1i 11 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜i) = -i)
13 cjre 15090 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต)
1412, 13oveq12d 7422 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = (-i ยท ๐ต))
15 mulneg1 11651 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ต) = -(i ยท ๐ต))
162, 3, 15sylancr 586 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (-i ยท ๐ต) = -(i ยท ๐ต))
1710, 14, 163eqtrd 2770 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต)) = -(i ยท ๐ต))
188, 17oveqan12d 7423 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต))) = (๐ด + -(i ยท ๐ต)))
19 negsub 11509 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -(i ยท ๐ต)) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
201, 5, 19syl2an 595 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + -(i ยท ๐ต)) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
217, 18, 203eqtrd 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  โˆ—ccj 15047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052
This theorem is referenced by:  cjreim2  15112  dipcj  30472  lnophmlem2  31775
  Copyright terms: Public domain W3C validator