Theorem cjreim 15113

Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Proof of Theorem cjreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 11088	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11119	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 11113	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		cjadd 15094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
7	1, 5, 6	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
8		cjre 15092	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
9		cjmul 15095	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
10	2, 3, 9	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
11		cji 15112	. . . . . 6 ⊢ (∗‘i) = -i
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘i) = -i)
13		cjre 15092	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘𝐵) = 𝐵)
14	12, 13	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐵)) = (-i · 𝐵))
15		mulneg1 11577	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
16	2, 3, 15	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
17	10, 14, 16	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = -(i · 𝐵))
18	8, 17	oveqan12d 7375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))) = (𝐴 + -(i · 𝐵)))
19		negsub 11433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
20	1, 5, 19	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
21	7, 18, 20	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369  ∗ccj 15049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054

This theorem is referenced by:  cjreim2  15114  dipcj  30803  lnophmlem2  32106