MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjreim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjreim 15052
Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
cjreim ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))

Proof of Theorem cjreim
StepHypRef Expression
1 recn 11148 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11117 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
3 recn 11148 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11142 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 588 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 cjadd 15033 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต))))
71, 5, 6syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต))))
8 cjre 15031 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ๐ด)
9 cjmul 15034 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
102, 3, 9sylancr 588 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))
11 cji 15051 . . . . . 6 (โˆ—โ€˜i) = -i
1211a1i 11 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜i) = -i)
13 cjre 15031 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ๐ต)
1412, 13oveq12d 7380 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) = (-i ยท ๐ต))
15 mulneg1 11598 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ต) = -(i ยท ๐ต))
162, 3, 15sylancr 588 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (-i ยท ๐ต) = -(i ยท ๐ต))
1710, 14, 163eqtrd 2781 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต)) = -(i ยท ๐ต))
188, 17oveqan12d 7381 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜(i ยท ๐ต))) = (๐ด + -(i ยท ๐ต)))
19 negsub 11456 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -(i ยท ๐ต)) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
201, 5, 19syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + -(i ยท ๐ต)) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
217, 18, 203eqtrd 2781 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โˆ—ccj 14988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cjreim2  15053  dipcj  29698  lnophmlem2  31001
  Copyright terms: Public domain W3C validator