![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cjreim | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
cjreim | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โ (i ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | recn 11199 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ax-icn 11168 | . . . 4 โข i โ โ | |
3 | recn 11199 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
4 | mulcl 11193 | . . . 4 โข ((i โ โ โง ๐ต โ โ) โ (i ยท ๐ต) โ โ) | |
5 | 2, 3, 4 | sylancr 586 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (i ยท ๐ต) โ โ) |
6 | cjadd 15092 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (i ยท ๐ต) โ โ) โ (โโ(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((โโ๐ด) + (โโ(i ยท ๐ต)))) | |
7 | 1, 5, 6 | syl2an 595 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((โโ๐ด) + (โโ(i ยท ๐ต)))) |
8 | cjre 15090 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ๐ด) | |
9 | cjmul 15093 | . . . . 5 โข ((i โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(i ยท ๐ต)) = ((โโi) ยท (โโ๐ต))) | |
10 | 2, 3, 9 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (โโ(i ยท ๐ต)) = ((โโi) ยท (โโ๐ต))) |
11 | cji 15110 | . . . . . 6 โข (โโi) = -i | |
12 | 11 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (โโi) = -i) |
13 | cjre 15090 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (โโ๐ต) = ๐ต) | |
14 | 12, 13 | oveq12d 7422 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ ((โโi) ยท (โโ๐ต)) = (-i ยท ๐ต)) |
15 | mulneg1 11651 | . . . . 5 โข ((i โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-i ยท ๐ต) = -(i ยท ๐ต)) | |
16 | 2, 3, 15 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (-i ยท ๐ต) = -(i ยท ๐ต)) |
17 | 10, 14, 16 | 3eqtrd 2770 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ (โโ(i ยท ๐ต)) = -(i ยท ๐ต)) |
18 | 8, 17 | oveqan12d 7423 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((โโ๐ด) + (โโ(i ยท ๐ต))) = (๐ด + -(i ยท ๐ต))) |
19 | negsub 11509 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (i ยท ๐ต) โ โ) โ (๐ด + -(i ยท ๐ต)) = (๐ด โ (i ยท ๐ต))) | |
20 | 1, 5, 19 | syl2an 595 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + -(i ยท ๐ต)) = (๐ด โ (i ยท ๐ต))) |
21 | 7, 18, 20 | 3eqtrd 2770 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (๐ด โ (i ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcc 11107 โcr 11108 ici 11111 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โ cmin 11445 -cneg 11446 โccj 15047 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-2 12276 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 |
This theorem is referenced by: cjreim2 15112 dipcj 30472 lnophmlem2 31775 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |