MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjadd 15120
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต)))

Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 15105 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)))
2 imadd 15113 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต)))
32oveq2d 7436 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต))) = (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต))))
4 ax-icn 11197 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
54a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
6 imcl 15090 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11272 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 imcl 15090 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
109adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110recnd 11272 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
125, 8, 11adddid 11268 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„‘โ€˜๐ต))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
133, 12eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
141, 13oveq12d 7438 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
15 recl 15089 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1716recnd 11272 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 recl 15089 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1918adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2019recnd 11272 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
21 mulcl 11222 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
224, 8, 21sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
23 mulcl 11222 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
244, 11, 23sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2517, 20, 22, 24addsub4d 11648 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
2614, 25eqtrd 2768 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
27 addcl 11220 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
28 remim 15096 . . 3 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต)))))
2927, 28syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โ„œโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜(๐ด + ๐ต)))))
30 remim 15096 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
31 remim 15096 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) = ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
3230, 31oveqan12d 7439 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต)) = (((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + ((โ„œโ€˜๐ต) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))))
3326, 29, 323eqtr4d 2778 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) + (โˆ—โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  โˆ—ccj 15075  โ„œcre 15076  โ„‘cim 15077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  cjsub  15128  cjreim  15139  cjaddi  15167  cjaddd  15199  sqabsadd  15261  sqreulem  15338  fsumcj  15788  efcj  16068  cnsrng  21332  atancj  26841  his7  30899  sigaraf  46241
  Copyright terms: Public domain W3C validator