Theorem cjadd 15314

Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readd 15299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
2		imadd 15307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
3	2	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))
4		ax-icn 11263	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
6		imcl 15284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		imcl 15284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
12	5, 8, 11	adddid 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
13	3, 12	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
14	1, 13	oveq12d 7439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
15		recl 15283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
18		recl 15283	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
21		mulcl 11288	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
22	4, 8, 21	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23		mulcl 11288	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	4, 11, 23	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	17, 20, 22, 24	addsub4d 11720	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
26	14, 25	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
27		addcl 11286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28		remim 15290	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
29	27, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
30		remim 15290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
31		remim 15290	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
32	30, 31	oveqan12d 7440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
33	26, 29, 32	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  ici 11206   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545  ∗ccj 15269  ℜcre 15270  ℑcim 15271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274

This theorem is used by:  cjsub  15322  cjreim  15333  cjaddi  15361  cjaddd  15393  sqabsadd  15455  sqreulem  15533  fsumcj  15983  efcj  16264  cnsrng  21718  atancj  27244  his7  31698  sigaraf  47957