Theorem cjre 14263

Description: A real number equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
cjre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cjre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10349	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjreb 14247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))
3	2	biimpd 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴))
4	1, 3	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6127  ℂcc 10257  ℝcr 10258  ∗ccj 14220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-2 11421  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225

This theorem is referenced by:  cjexp  14274  cj0  14282  cjreim  14284  cjred  14350  absre  14425  absresq  14426  resinval  15244  recosval  15245  recrng  20335  rrxcph  23567  plyreres  24444  1cubrlem  24988  atandmcj  25056  atancj  25057  atanrecl  25058  dchrinv  25406  rpvmasum2  25621  dipcj  28120  hisubcomi  28512  normlem9  28526  bcseqi  28528  lnophmlem2  29427  hmopm  29431