Theorem cjre 15166

Description: A real number equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
cjre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cjre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cjreb 15150	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))
3	2	biimpd 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴))
4	1, 3	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  ℂcc 11071  ℝcr 11072  ∗ccj 15123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128

This theorem is referenced by:  cjexp  15177  cj0  15185  cjreim  15187  cjred  15253  absre  15328  absresq  15329  resinval  16167  recosval  16168  resrng  21673  rrxcph  25454  plyreres  26347  1cubrlem  26906  atandmcj  26974  atancj  26975  atanrecl  26976  dchrinv  27325  rpvmasum2  27576  dipcj  30917  hisubcomi  31307  normlem9  31321  bcseqi  31323  lnophmlem2  32220  hmopm  32224  constrconj  34042  cjnpoly  47483