![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulneg1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulneg1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0cn 11244 | . . . 4 โข 0 โ โ | |
2 | subdir 11686 | . . . 4 โข ((0 โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 โ ๐ด) ยท ๐ต) = ((0 ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ต))) | |
3 | 1, 2 | mp3an1 1444 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 โ ๐ด) ยท ๐ต) = ((0 ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ต))) |
4 | simpr 483 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ โ) | |
5 | 4 | mul02d 11450 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (0 ยท ๐ต) = 0) |
6 | 5 | oveq1d 7441 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 ยท ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ต)) = (0 โ (๐ด ยท ๐ต))) |
7 | 3, 6 | eqtrd 2768 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((0 โ ๐ด) ยท ๐ต) = (0 โ (๐ด ยท ๐ต))) |
8 | df-neg 11485 | . . 3 โข -๐ด = (0 โ ๐ด) | |
9 | 8 | oveq1i 7436 | . 2 โข (-๐ด ยท ๐ต) = ((0 โ ๐ด) ยท ๐ต) |
10 | df-neg 11485 | . 2 โข -(๐ด ยท ๐ต) = (0 โ (๐ด ยท ๐ต)) | |
11 | 7, 9, 10 | 3eqtr4g 2793 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11144 0cc0 11146 ยท cmul 11151 โ cmin 11482 -cneg 11483 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 df-sub 11484 df-neg 11485 |
This theorem is referenced by: mulneg2 11689 mulneg12 11690 mulm1 11693 mulneg1i 11698 mulneg1d 11705 divneg 11944 zmulcl 12649 modcyc2 13912 cjreim 15147 tanval3 16118 dvdsnegb 16258 odd2np1 16325 modgcd 16515 pcexp 16835 cnfldmulg 21338 sinperlem 26435 sineq0 26478 efeq1 26482 asinlem3a 26822 atancj 26862 atantayl 26889 atantayl2 26890 zetacvg 26967 basellem3 27035 basellem9 27041 ipval2 30537 ipasslem2 30662 itg2addnclem3 37179 ftc1anclem6 37204 stoweidlem10 45427 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |