Theorem mulneg1 11665

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		subdir 11663	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
6	5	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
8		df-neg 11459	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
9	8	oveq1i 7429	. 2 ⊢ (-𝐴 · 𝐵) = ((0 − 𝐴) · 𝐵)
10		df-neg 11459	. 2 ⊢ -(𝐴 · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵))
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   · cmul 11120   − cmin 11456  -cneg 11457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by:  mulneg2  11666  mulneg12  11667  mulm1  11670  mulneg1i  11675  mulneg1d  11682  divneg  11921  zmulcl  12658  modcyc2  13958  cjreim  15235  tanval3  16212  dvdsnegb  16353  odd2np1  16421  modgcd  16612  pcexp  16941  cnfldmulg  21604  sinperlem  26696  sineq0  26740  efeq1  26744  asinlem3a  27086  atancj  27126  atantayl  27153  atantayl2  27154  zetacvg  27230  basellem3  27298  basellem9  27304  ipval2  31130  ipasslem2  31255  itg2addnclem3  38381  ftc1anclem6  38406  stoweidlem10  46782