Theorem mulneg1 11681

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11235	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		subdir 11679	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11441	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
6	5	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
8		df-neg 11477	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
9	8	oveq1i 7423	. 2 ⊢ (-𝐴 · 𝐵) = ((0 − 𝐴) · 𝐵)
10		df-neg 11477	. 2 ⊢ -(𝐴 · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵))
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2794	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   · cmul 11142   − cmin 11474  -cneg 11475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-sub 11476  df-neg 11477

This theorem is referenced by:  mulneg2  11682  mulneg12  11683  mulm1  11686  mulneg1i  11691  mulneg1d  11698  divneg  11941  zmulcl  12649  modcyc2  13929  cjreim  15182  tanval3  16153  dvdsnegb  16294  odd2np1  16361  modgcd  16552  pcexp  16880  cnfldmulg  21379  sinperlem  26459  sineq0  26503  efeq1  26507  asinlem3a  26850  atancj  26890  atantayl  26917  atantayl2  26918  zetacvg  26995  basellem3  27063  basellem9  27069  ipval2  30655  ipasslem2  30780  itg2addnclem3  37655  ftc1anclem6  37680  stoweidlem10  45997