MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg1 11596
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulneg1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulneg1
StepHypRef Expression
1 0cn 11152 . . . 4 0 โˆˆ โ„‚
2 subdir 11594 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) = ((0 ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)))
31, 2mp3an1 1449 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) = ((0 ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)))
4 simpr 486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
54mul02d 11358 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
65oveq1d 7373 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 ยท ๐ต) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)))
73, 6eqtrd 2773 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ต)))
8 df-neg 11393 . . 3 -๐ด = (0 โˆ’ ๐ด)
98oveq1i 7368 . 2 (-๐ด ยท ๐ต) = ((0 โˆ’ ๐ด) ยท ๐ต)
10 df-neg 11393 . 2 -(๐ด ยท ๐ต) = (0 โˆ’ (๐ด ยท ๐ต))
117, 9, 103eqtr4g 2798 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  mulneg2  11597  mulneg12  11598  mulm1  11601  mulneg1i  11606  mulneg1d  11613  divneg  11852  zmulcl  12557  modcyc2  13818  cjreim  15051  tanval3  16021  dvdsnegb  16161  odd2np1  16228  modgcd  16418  pcexp  16736  cnfldmulg  20845  sinperlem  25853  sineq0  25896  efeq1  25900  asinlem3a  26236  atancj  26276  atantayl  26303  atantayl2  26304  zetacvg  26380  basellem3  26448  basellem9  26454  ipval2  29691  ipasslem2  29816  itg2addnclem3  36177  ftc1anclem6  36202  stoweidlem10  44337
  Copyright terms: Public domain W3C validator