Theorem mulneg1 11623

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11171	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		subdir 11621	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
4		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
6	5	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵)))
8		df-neg 11417	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
9	8	oveq1i 7406	. 2 ⊢ (-𝐴 · 𝐵) = ((0 − 𝐴) · 𝐵)
10		df-neg 11417	. 2 ⊢ -(𝐴 · 𝐵) = (0 − (𝐴 · 𝐵))
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   · cmul 11078   − cmin 11414  -cneg 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417

This theorem is referenced by:  mulneg2  11624  mulneg12  11625  mulm1  11628  mulneg1i  11633  mulneg1d  11640  divneg  11882  zmulcl  12620  modcyc2  13917  cjreim  15187  tanval3  16166  dvdsnegb  16307  odd2np1  16375  modgcd  16566  pcexp  16895  cnfldmulg  21453  sinperlem  26542  sineq0  26586  efeq1  26590  asinlem3a  26932  atancj  26972  atantayl  26999  atantayl2  27000  zetacvg  27076  basellem3  27144  basellem9  27150  ipval2  30907  ipasslem2  31032  itg2addnclem3  38169  ftc1anclem6  38194  stoweidlem10  46581