MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem5 26497
Description: Lemma for abelth 26503. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12945 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12651 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 1rp 13061 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2741 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑚))
6 abelth.7 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
71, 2, 4, 5, 6climi0 15558 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
87adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
9 simprl 770 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
10 oveq2 7456 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → ((abs‘𝑋)↑𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
11 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
12 ovex 7481 . . . . . 6 ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 7029 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
1413adantl 481 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
15 cnxmet 24814 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 0cn 11282 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
17 1xr 11349 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
18 blssm 24449 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
1915, 16, 17, 18mp3an 1461 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
20 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
2119, 20sselid 4006 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2221abscld 15485 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
23 reexpcl 14129 . . . . 5 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2422, 23sylan 579 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2514, 24eqeltrd 2844 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) ∈ ℝ)
26 fveq2 6920 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
27 oveq2 7456 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
2826, 27oveq12d 7466 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
29 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
30 ovex 7481 . . . . . 6 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 7029 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
3231adantl 481 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
33 abelth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3433ffvelcdmda 7118 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
351, 2, 34serf 14081 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3635ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3736ffvelcdmda 7118 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
38 expcl 14130 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
3921, 38sylan 579 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
4037, 39mulcld 11310 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
4132, 40eqeltrd 2844 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4222recnd 11318 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
43 absidm 15372 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
4421, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
45 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4645cnmetdval 24812 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4721, 16, 46sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4821subid1d 11636 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
4948fveq2d 6924 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
5047, 49eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
51 elbl3 24423 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5215, 17, 51mpanl12 701 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5316, 21, 52sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5420, 53mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
5550, 54eqbrtrrd 5190 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) < 1)
5644, 55eqbrtrd 5188 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
5742, 56, 14geolim 15918 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))))
58 climrel 15538 . . . . 5 Rel ⇝
5958releldmi 5973 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6057, 59syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
61 1red 11291 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
6236adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
63 eluznn0 12982 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
649, 63sylan 579 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6562, 64ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
6664, 39syldan 590 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6765, 66absmuld 15503 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))))
6821adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
6968, 64absexpd 15501 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝑋𝑖)) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
7069oveq2d 7464 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7167, 70eqtrd 2780 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7265abscld 15485 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
73 1red 11291 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
7464, 24syldan 590 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
7566absge0d 15493 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝑋𝑖)))
7675, 69breqtrd 5192 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑖))
77 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
78 2fveq3 6925 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑖 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
7978breq1d 5176 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑖 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1))
8079rspccva 3634 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
8177, 80sylan 579 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
82 1re 11290 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
83 ltle 11378 . . . . . . . 8 (((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8472, 82, 83sylancl 585 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8581, 84mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1)
8672, 73, 74, 76, 85lemul1ad 12234 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
8771, 86eqbrtrd 5188 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
8864, 31syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
8988fveq2d 6924 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
9064, 13syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
9190oveq2d 7464 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)) = (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
9287, 89, 913brtr4d 5198 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)))
931, 9, 25, 41, 60, 61, 92cvgcmpce 15866 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
948, 93rexlimddv 3167 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wrex 3076  {crab 3443  wss 3976   class class class wbr 5166  cmpt 5249  dom cdm 5700  ccom 5704  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  0cn0 12553  cuz 12903  +crp 13057  seqcseq 14052  cexp 14112  abscabs 15283  cli 15530  Σcsu 15734  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382
This theorem is referenced by:  abelthlem6  26498  abelthlem7  26500
  Copyright terms: Public domain W3C validator