MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem5 25794
Description: Lemma for abelth 25800. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12511 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 1rp 12919 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑚))
6 abelth.7 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
71, 2, 4, 5, 6climi0 15394 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
87adantr 481 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
9 simprl 769 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
10 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → ((abs‘𝑋)↑𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
11 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
12 ovex 7390 . . . . . 6 ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
1413adantl 482 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
15 cnxmet 24136 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 0cn 11147 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
17 1xr 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
18 blssm 23771 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
1915, 16, 17, 18mp3an 1461 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
20 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
2119, 20sselid 3942 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2221abscld 15321 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
23 reexpcl 13984 . . . . 5 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2422, 23sylan 580 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2514, 24eqeltrd 2838 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) ∈ ℝ)
26 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
27 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
2826, 27oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
29 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
30 ovex 7390 . . . . . 6 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
3231adantl 482 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
33 abelth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3433ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
351, 2, 34serf 13936 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3635ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3736ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
38 expcl 13985 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
3921, 38sylan 580 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
4037, 39mulcld 11175 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
4132, 40eqeltrd 2838 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4222recnd 11183 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
43 absidm 15208 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
4421, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
45 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4645cnmetdval 24134 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4721, 16, 46sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4821subid1d 11501 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
4948fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
5047, 49eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
51 elbl3 23745 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5215, 17, 51mpanl12 700 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5316, 21, 52sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5420, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
5550, 54eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) < 1)
5644, 55eqbrtrd 5127 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
5742, 56, 14geolim 15755 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))))
58 climrel 15374 . . . . 5 Rel ⇝
5958releldmi 5903 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6057, 59syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
61 1red 11156 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
6236adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
63 eluznn0 12842 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
649, 63sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6562, 64ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
6664, 39syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6765, 66absmuld 15339 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))))
6821adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
6968, 64absexpd 15337 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝑋𝑖)) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
7069oveq2d 7373 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7167, 70eqtrd 2776 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7265abscld 15321 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
73 1red 11156 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
7464, 24syldan 591 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
7566absge0d 15329 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝑋𝑖)))
7675, 69breqtrd 5131 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑖))
77 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
78 2fveq3 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑖 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
7978breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑖 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1))
8079rspccva 3580 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
8177, 80sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
82 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
83 ltle 11243 . . . . . . . 8 (((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8472, 82, 83sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8581, 84mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1)
8672, 73, 74, 76, 85lemul1ad 12094 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
8771, 86eqbrtrd 5127 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
8864, 31syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
8988fveq2d 6846 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
9064, 13syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
9190oveq2d 7373 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)) = (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
9287, 89, 913brtr4d 5137 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)))
931, 9, 25, 41, 60, 61, 92cvgcmpce 15703 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
948, 93rexlimddv 3158 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  0cn0 12413  cuz 12763  +crp 12915  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791
This theorem is referenced by:  abelthlem6  25795  abelthlem7  25797
  Copyright terms: Public domain W3C validator