MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem5 25954
Description: Lemma for abelth 25960. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
abelth.6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
abelth.7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧,𝑀   π‘˜,𝑋,𝑛,π‘₯,𝑧   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(π‘₯,𝑧,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12866 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12572 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 1rp 12980 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š))
6 abelth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
71, 2, 4, 5, 6climi0 15458 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)
87adantr 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)
9 simprl 769 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
10 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
11 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))
12 ovex 7444 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
1413adantl 482 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
15 cnxmet 24296 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
16 0cn 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
17 1xr 11275 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
18 blssm 23931 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
1915, 16, 17, 18mp3an 1461 . . . . . . 7 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
20 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
2119, 20sselid 3980 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2221abscld 15385 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
23 reexpcl 14046 . . . . 5 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ ℝ)
2422, 23sylan 580 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ ℝ)
2514, 24eqeltrd 2833 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) ∈ ℝ)
26 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–))
27 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) = (𝑋↑𝑖))
2826, 27oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
29 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
30 ovex 7444 . . . . . 6 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
3231adantl 482 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
33 abelth.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3433ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
351, 2, 34serf 13998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
3635ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
38 expcl 14047 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
3921, 38sylan 580 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
4037, 39mulcld 11236 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ β„‚)
4132, 40eqeltrd 2833 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4222recnd 11244 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
43 absidm 15272 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘‹)) = (absβ€˜π‘‹))
4421, 43syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘‹)) = (absβ€˜π‘‹))
45 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
4645cnmetdval 24294 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
4721, 16, 46sylancl 586 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
4821subid1d 11562 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋 βˆ’ 0) = 𝑋)
4948fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘‹))
5047, 49eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘‹))
51 elbl3 23905 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
5215, 17, 51mpanl12 700 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
5316, 21, 52sylancr 587 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
5420, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
5550, 54eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 1)
5644, 55eqbrtrd 5170 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘‹)) < 1)
5742, 56, 14geolim 15818 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 βˆ’ (absβ€˜π‘‹))))
58 climrel 15438 . . . . 5 Rel ⇝
5958releldmi 5947 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 βˆ’ (absβ€˜π‘‹))) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6057, 59syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
61 1red 11217 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
6236adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
63 eluznn0 12903 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
649, 63sylan 580 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6562, 64ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
6664, 39syldan 591 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
6765, 66absmuld 15403 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) = ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· (absβ€˜(𝑋↑𝑖))))
6821adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
6968, 64absexpd 15401 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(𝑋↑𝑖)) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
7069oveq2d 7427 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· (absβ€˜(𝑋↑𝑖))) = ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
7167, 70eqtrd 2772 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) = ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
7265abscld 15385 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
73 1red 11217 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 1 ∈ ℝ)
7464, 24syldan 591 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ ℝ)
7566absge0d 15393 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑋↑𝑖)))
7675, 69breqtrd 5174 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
77 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)
78 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑖 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)))
7978breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑖 β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1 ↔ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1))
8079rspccva 3611 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1)
8177, 80sylan 580 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1)
82 1re 11216 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
83 ltle 11304 . . . . . . . 8 (((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ≀ 1))
8472, 82, 83sylancl 586 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ≀ 1))
8581, 84mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ≀ 1)
8672, 73, 74, 76, 85lemul1ad 12155 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)) ≀ (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
8771, 86eqbrtrd 5170 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) ≀ (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
8864, 31syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
8988fveq2d 6895 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–)) = (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))))
9064, 13syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
9190oveq2d 7427 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–)) = (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
9287, 89, 913brtr4d 5180 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–)) ≀ (1 Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–)))
931, 9, 25, 41, 60, 61, 92cvgcmpce 15766 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
948, 93rexlimddv 3161 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•0cn0 12474  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  abscabs 15183   ⇝ cli 15430  Ξ£csu 15634  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945
This theorem is referenced by:  abelthlem6  25955  abelthlem7  25957
  Copyright terms: Public domain W3C validator