MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem5 25947
Description: Lemma for abelth 25953. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
abelth.6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
abelth.7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧,𝑀   π‘˜,𝑋,𝑛,π‘₯,𝑧   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝑆,π‘˜,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(π‘₯,𝑧,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12864 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12570 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 1rp 12978 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š))
6 abelth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
71, 2, 4, 5, 6climi0 15456 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)
87adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)
9 simprl 770 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
10 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
11 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))
12 ovex 7442 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
1413adantl 483 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
15 cnxmet 24289 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
16 0cn 11206 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
17 1xr 11273 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
18 blssm 23924 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
1915, 16, 17, 18mp3an 1462 . . . . . . 7 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
20 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
2119, 20sselid 3981 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2221abscld 15383 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
23 reexpcl 14044 . . . . 5 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ ℝ)
2422, 23sylan 581 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ ℝ)
2514, 24eqeltrd 2834 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) ∈ ℝ)
26 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–))
27 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) = (𝑋↑𝑖))
2826, 27oveq12d 7427 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
29 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
30 ovex 7442 . . . . . 6 ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
3231adantl 483 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
33 abelth.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3433ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
351, 2, 34serf 13996 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
3635ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
38 expcl 14045 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
3921, 38sylan 581 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
4037, 39mulcld 11234 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)) ∈ β„‚)
4132, 40eqeltrd 2834 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4222recnd 11242 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
43 absidm 15270 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘‹)) = (absβ€˜π‘‹))
4421, 43syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘‹)) = (absβ€˜π‘‹))
45 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
4645cnmetdval 24287 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
4721, 16, 46sylancl 587 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)))
4821subid1d 11560 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋 βˆ’ 0) = 𝑋)
4948fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘‹))
5047, 49eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) = (absβ€˜π‘‹))
51 elbl3 23898 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
5215, 17, 51mpanl12 701 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
5316, 21, 52sylancr 588 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1))
5420, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (𝑋(abs ∘ βˆ’ )0) < 1)
5550, 54eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 1)
5644, 55eqbrtrd 5171 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘‹)) < 1)
5742, 56, 14geolim 15816 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 βˆ’ (absβ€˜π‘‹))))
58 climrel 15436 . . . . 5 Rel ⇝
5958releldmi 5948 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 βˆ’ (absβ€˜π‘‹))) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6057, 59syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
61 1red 11215 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
6236adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
63 eluznn0 12901 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
649, 63sylan 581 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6562, 64ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
6664, 39syldan 592 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑋↑𝑖) ∈ β„‚)
6765, 66absmuld 15401 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) = ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· (absβ€˜(𝑋↑𝑖))))
6821adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
6968, 64absexpd 15399 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(𝑋↑𝑖)) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
7069oveq2d 7425 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· (absβ€˜(𝑋↑𝑖))) = ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
7167, 70eqtrd 2773 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) = ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
7265abscld 15383 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
73 1red 11215 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 1 ∈ ℝ)
7464, 24syldan 592 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖) ∈ ℝ)
7566absge0d 15391 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑋↑𝑖)))
7675, 69breqtrd 5175 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
77 simprr 772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)
78 2fveq3 6897 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑖 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)))
7978breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑖 β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1 ↔ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1))
8079rspccva 3612 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1)
8177, 80sylan 581 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1)
82 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
83 ltle 11302 . . . . . . . 8 (((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ≀ 1))
8472, 82, 83sylancl 587 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) < 1 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ≀ 1))
8581, 84mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ≀ 1)
8672, 73, 74, 76, 85lemul1ad 12153 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)) ≀ (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
8771, 86eqbrtrd 5171 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))) ≀ (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
8864, 31syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖)))
8988fveq2d 6896 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–)) = (absβ€˜((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) Β· (𝑋↑𝑖))))
9064, 13syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–) = ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖))
9190oveq2d 7425 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (1 Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–)) = (1 Β· ((absβ€˜π‘‹)↑𝑖)))
9287, 89, 913brtr4d 5181 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))β€˜π‘–)) ≀ (1 Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((absβ€˜π‘‹)↑𝑛))β€˜π‘–)))
931, 9, 25, 41, 60, 61, 92cvgcmpce 15764 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < 1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
948, 93rexlimddv 3162 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  abelthlem6  25948  abelthlem7  25950
  Copyright terms: Public domain W3C validator