Theorem sinccvg 35660

Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinccvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem sinccvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12836	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12564	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℤ)
3		1rp 12955	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
7	1, 2, 4, 5, 6	climi0 15478	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
8		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
9		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹 ⇝ 0)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
12		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
13		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
14		2fveq3 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑛)))
15	14	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1))
16	15	rspccva 3587	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
17	13, 16	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
18	8, 9, 10, 11, 12, 17	sinccvglem 35659	. 2 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)
19	7, 18	rexlimddv 3140	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11208   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ↑cexp 14026  abscabs 15200   ⇝ cli 15450  sincsin 16029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771

This theorem is referenced by:  circum  35661