Theorem sinccvg 33617

Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinccvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem sinccvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12609	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12339	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℤ)
3		1rp 12722	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
7	1, 2, 4, 5, 6	climi0 15209	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
8		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
9		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹 ⇝ 0)
10		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
12		simprl 768	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
13		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
14		2fveq3 6772	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑛)))
15	14	breq1d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1))
16	15	rspccva 3559	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
17	13, 16	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
18	8, 9, 10, 11, 12, 17	sinccvglem 33616	. 2 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)
19	7, 18	rexlimddv 3218	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884  {csn 4562   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5589  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  ℝcr 10858  0cc0 10859  1c1 10860   < clt 10997   − cmin 11193   / cdiv 11620  ℕcn 11961  2c2 12016  3c3 12017  ℤ_≥cuz 12570  ℝ⁺crp 12718  ↑cexp 13770  abscabs 14933   ⇝ cli 15181  sincsin 15761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-hash 14033  df-shft 14766  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-ef 15765  df-sin 15767  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cncf 24029

This theorem is referenced by:  circum  33618