Theorem sinccvg 36060

Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinccvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem sinccvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12897	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12621	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℤ)
3		1rp 13016	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
7	1, 2, 4, 5, 6	climi0 15559	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
8		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
9		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹 ⇝ 0)
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
11		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
12		simprl 782	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
13		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
14		2fveq3 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑛)))
15	14	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1))
16	15	rspccva 3589	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
17	13, 16	sylan 591	. . 3 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
18	8, 9, 10, 11, 12, 17	sinccvglem 36059	. 2 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)
19	7, 18	rexlimddv 3178	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012  ↑cexp 14093  abscabs 15281   ⇝ cli 15531  sincsin 16113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002

This theorem is referenced by:  circum  36061