Theorem sinccvg 35658

Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinccvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem sinccvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12919	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12646	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℤ)
3		1rp 13036	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
7	1, 2, 4, 5, 6	climi0 15545	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
8		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
9		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹 ⇝ 0)
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
12		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
13		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
14		2fveq3 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑛)))
15	14	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1))
16	15	rspccva 3621	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
17	13, 16	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
18	8, 9, 10, 11, 12, 17	sinccvglem 35657	. 2 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)
19	7, 18	rexlimddv 3159	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099  abscabs 15270   ⇝ cli 15517  sincsin 16096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918

This theorem is referenced by:  circum  35659