Theorem sinccvg 35679

Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinccvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem sinccvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12922	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12650	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℤ)
3		1rp 13039	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → 𝐹 ⇝ 0)
7	1, 2, 4, 5, 6	climi0 15549	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
8		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
9		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝐹 ⇝ 0)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
12		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
13		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)
14		2fveq3 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑛)))
15	14	breq1d 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1))
16	15	rspccva 3620	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
17	13, 16	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐹‘𝑛)) < 1)
18	8, 9, 10, 11, 12, 17	sinccvglem 35678	. 2 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 1)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)
19	7, 18	rexlimddv 3160	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝐹 ⇝ 0) → ((𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥)) ∘ 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ∖ cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   < clt 11296   − cmin 11493   / cdiv 11921  ℕcn 12267  2c2 12322  3c3 12323  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035  ↑cexp 14103  abscabs 15274   ⇝ cli 15521  sincsin 16100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905

This theorem is referenced by:  circum  35680