MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem8 25958
Description: Lemma for abelth 25960. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
abelth.6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
abelth.7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12866 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12572 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ β„€)
3 id 22 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
4 abelth.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5 abelth.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
64, 5ge0p1rpd 13048 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
7 rpdivcl 13001 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
83, 6, 7syl2anr 597 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
9 eqidd 2733 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜) = (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜))
10 abelth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
1110adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
121, 2, 8, 9, 11climi0 15458 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
138adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
14 fzfid 13940 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...(𝑗 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
15 0zd 12572 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
16 abelth.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1716ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
181, 15, 17serf 13998 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
19 elfznn0 13596 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
20 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((seq0( + , 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
2221abscld 15385 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
2314, 22fsumrecl 15682 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
2423ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) ∈ ℝ)
2521absge0d 15393 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)))
2614, 22, 25fsumge0 15743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)))
2726ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)))
2824, 27ge0p1rpd 13048 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1) ∈ ℝ+)
2913, 28rpdivcld 13035 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) ∈ ℝ+)
30 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
31 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
3216, 30, 4, 5, 31abelthlem2 25951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
3332simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝑆)
34 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯↑𝑛) = (1↑𝑛))
35 nn0z 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
36 1exp 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑛) = 1)
3834, 37sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑛) = 1)
3938oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
4039sumeq2dv 15651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
41 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
42 sumex 15636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜1) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
4433, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
4516ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
4645mulridd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = (π΄β€˜π‘›))
4746eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
4846, 45eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) ∈ β„‚)
491, 15, 47, 48, 10isumclim 15705 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = 0)
5044, 49eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = 0)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜1) = 0)
5251oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) = (0 βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)))
53 df-neg 11449 . . . . . . . . . . 11 -(πΉβ€˜π‘¦) = (0 βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))
5452, 53eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) = -(πΉβ€˜π‘¦))
5554fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘¦)))
5616, 30, 4, 5, 31, 41abelthlem4 25953 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
5756ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
5857absnegd 15398 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
5955, 58eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
6059adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
6160ad2ant2r 745 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
62 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜1))
6362, 50sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = 0)
6463abs00bd 15240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = 0)
6564ad5ant15 757 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = 0)
66 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
6766rpgt0d 13021 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) β†’ 0 < 𝑅)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) β†’ 0 < 𝑅)
6965, 68eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑅)
7016ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
7130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
724ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
735ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
7410ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
75 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
76 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 𝑦 β‰  1)
77 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {1}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  1))
7875, 76, 77sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {1}))
798ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
80 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
81 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
82 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) = (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)))
8382breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)) ↔ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < (𝑅 / (𝑀 + 1))))
8483cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
8581, 84sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘š)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
86 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))
87 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) = (absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›)))
8887cbvsumv 15644 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›))
8988oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›)) + 1)
9089oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) = ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›)) + 1))
9186, 90breqtrdi 5189 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘›)) + 1)))
9270, 71, 72, 73, 31, 41, 74, 78, 79, 80, 85, 91abelthlem7 25957 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) < ((𝑀 + 1) Β· (𝑅 / (𝑀 + 1))))
93 rpcn 12986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
956adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
9695rpcnd 13020 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
9795rpne0d 13023 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 + 1) β‰  0)
9894, 96, 97divcan2d 11994 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (𝑅 / (𝑀 + 1))) = 𝑅)
9998ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ ((𝑀 + 1) Β· (𝑅 / (𝑀 + 1))) = 𝑅)
10092, 99breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))) ∧ 𝑦 β‰  1)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑅)
101100anassrs 468 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) ∧ 𝑦 β‰  1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑅)
10269, 101pm2.61dane 3029 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑅)
10361, 102eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅)
104103expr 457 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
105104ralrimiva 3146 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
106 breq2 5152 . . . 4 (𝑀 = ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) β†’ ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1))))
107106rspceaimv 3617 . . 3 ((((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 βˆ’ 1))(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘–)) + 1)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
10829, 105, 107syl2anc 584 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜(seq0( + , 𝐴)β€˜π‘˜)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
10912, 108rexlimddv 3161 1 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  ...cfz 13486  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  abscabs 15183   ⇝ cli 15430  Ξ£csu 15634  ballcbl 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945
This theorem is referenced by:  abelthlem9  25959
  Copyright terms: Public domain W3C validator