MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem8 25798
Description: Lemma for abelth 25800. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem8 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12511 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+)
4 abelth.3 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5 abelth.4 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
64, 5ge0p1rpd 12987 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
7 rpdivcl 12940 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
83, 6, 7syl2anr 597 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
9 eqidd 2737 . . 3 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑘))
10 abelth.7 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
121, 2, 8, 9, 11climi0 15394 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
138adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
14 fzfid 13878 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin)
15 0zd 12511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16 abelth.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1716ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑤) ∈ ℂ)
181, 15, 17serf 13936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
19 elfznn0 13534 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . 9 ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
2221abscld 15321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
2314, 22fsumrecl 15619 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
2423ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
2521absge0d 15329 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
2614, 22, 25fsumge0 15680 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
2726ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
2824, 27ge0p1rpd 12987 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1) ∈ ℝ+)
2913, 28rpdivcld 12974 . . 3 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) ∈ ℝ+)
30 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
31 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
3216, 30, 4, 5, 31abelthlem2 25791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
3332simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
34 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑛) = (1↑𝑛))
35 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
36 1exp 13997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
3834, 37sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑛) = 1)
3938oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
4039sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
41 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
42 sumex 15572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
4433, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
4516ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
4645mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
4746eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) = ((𝐴𝑛) · 1))
4846, 45eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) ∈ ℂ)
491, 15, 47, 48, 10isumclim 15642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1) = 0)
5044, 49eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘1) = 0)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹‘1) = 0)
5251oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)) = (0 − (𝐹𝑦)))
53 df-neg 11388 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑦) = (0 − (𝐹𝑦))
5452, 53eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)) = -(𝐹𝑦))
5554fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘-(𝐹𝑦)))
5616, 30, 4, 5, 31, 41abelthlem4 25793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
5756ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5857absnegd 15334 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘-(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑦)))
5955, 58eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘(𝐹𝑦)))
6059adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘(𝐹𝑦)))
6160ad2ant2r 745 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘(𝐹𝑦)))
62 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘1))
6362, 50sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = 1) → (𝐹𝑦) = 0)
6463abs00bd 15176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) = 0)
6564ad5ant15 757 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) = 0)
66 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
6766rpgt0d 12960 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → 0 < 𝑅)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) → 0 < 𝑅)
6965, 68eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
7016ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
7130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
724ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
735ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 0 ≤ 𝑀)
7410ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
75 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑦𝑆)
76 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑦 ≠ 1)
77 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {1}) ↔ (𝑦𝑆𝑦 ≠ 1))
7875, 76, 77sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
798ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
80 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
81 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
82 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)))
8382breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)) ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < (𝑅 / (𝑀 + 1))))
8483cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
8581, 84sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
86 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))
87 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
8887cbvsumv 15581 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
8988oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)
9089oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) = ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
9186, 90breqtrdi 5146 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
9270, 71, 72, 73, 31, 41, 74, 78, 79, 80, 85, 91abelthlem7 25797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(𝐹𝑦)) < ((𝑀 + 1) · (𝑅 / (𝑀 + 1))))
93 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
956adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
9695rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9795rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
9894, 96, 97divcan2d 11933 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 1) · (𝑅 / (𝑀 + 1))) = 𝑅)
9998ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (𝑅 / (𝑀 + 1))) = 𝑅)
10092, 99breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
101100anassrs 468 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 ≠ 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
10269, 101pm2.61dane 3032 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
10361, 102eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)
104103expr 457 . . . 4 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
105104ralrimiva 3143 . . 3 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → ∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
106 breq2 5109 . . . 4 (𝑤 = ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))))
107106rspceaimv 3585 . . 3 ((((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
10829, 105, 107syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
10912, 108rexlimddv 3158 1 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  ballcbl 20783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791
This theorem is referenced by:  abelthlem9  25799
  Copyright terms: Public domain W3C validator