MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem8 26483
Description: Lemma for abelth 26485. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem8 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12920 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12625 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+)
4 abelth.3 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5 abelth.4 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
64, 5ge0p1rpd 13107 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
7 rpdivcl 13060 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ+) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
83, 6, 7syl2anr 597 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
9 eqidd 2738 . . 3 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑘))
10 abelth.7 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
121, 2, 8, 9, 11climi0 15548 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
138adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
14 fzfid 14014 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin)
15 0zd 12625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16 abelth.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1716ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑤) ∈ ℂ)
181, 15, 17serf 14071 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
19 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
2221abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
2314, 22fsumrecl 15770 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
2423ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
2521absge0d 15483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 0 ≤ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
2614, 22, 25fsumge0 15831 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
2726ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
2824, 27ge0p1rpd 13107 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1) ∈ ℝ+)
2913, 28rpdivcld 13094 . . 3 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) ∈ ℝ+)
30 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
31 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
3216, 30, 4, 5, 31abelthlem2 26476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
3332simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
34 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑛) = (1↑𝑛))
35 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
36 1exp 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
3834, 37sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑛) = 1)
3938oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
4039sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
41 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
42 sumex 15724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
4433, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
4516ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
4645mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) = (𝐴𝑛))
4746eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) = ((𝐴𝑛) · 1))
4846, 45eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · 1) ∈ ℂ)
491, 15, 47, 48, 10isumclim 15793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1) = 0)
5044, 49eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘1) = 0)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹‘1) = 0)
5251oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)) = (0 − (𝐹𝑦)))
53 df-neg 11495 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑦) = (0 − (𝐹𝑦))
5452, 53eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)) = -(𝐹𝑦))
5554fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘-(𝐹𝑦)))
5616, 30, 4, 5, 31, 41abelthlem4 26478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
5756ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5857absnegd 15488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘-(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑦)))
5955, 58eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘(𝐹𝑦)))
6059adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘(𝐹𝑦)))
6160ad2ant2r 747 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) = (abs‘(𝐹𝑦)))
62 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘1))
6362, 50sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = 1) → (𝐹𝑦) = 0)
6463abs00bd 15330 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) = 0)
6564ad5ant15 759 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) = 0)
66 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
6766rpgt0d 13080 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → 0 < 𝑅)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) → 0 < 𝑅)
6965, 68eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 = 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
7016ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
7130ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
724ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
735ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 0 ≤ 𝑀)
7410ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
75 simprll 779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑦𝑆)
76 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑦 ≠ 1)
77 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {1}) ↔ (𝑦𝑆𝑦 ≠ 1))
7875, 76, 77sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
798ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (𝑅 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
80 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
81 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
82 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)))
8382breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)) ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < (𝑅 / (𝑀 + 1))))
8483cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
8581, 84sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))
86 simprlr 780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))
87 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)))
8887cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
8988oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)
9089oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) = ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1))
9186, 90breqtrdi 5184 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑛)) + 1)))
9270, 71, 72, 73, 31, 41, 74, 78, 79, 80, 85, 91abelthlem7 26482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(𝐹𝑦)) < ((𝑀 + 1) · (𝑅 / (𝑀 + 1))))
93 rpcn 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
956adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
9695rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9795rpne0d 13082 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
9894, 96, 97divcan2d 12045 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 1) · (𝑅 / (𝑀 + 1))) = 𝑅)
9998ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → ((𝑀 + 1) · (𝑅 / (𝑀 + 1))) = 𝑅)
10092, 99breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ ((𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))) ∧ 𝑦 ≠ 1)) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
101100anassrs 467 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) ∧ 𝑦 ≠ 1) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
10269, 101pm2.61dane 3029 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑦)) < 𝑅)
10361, 102eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)))) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)
104103expr 456 . . . 4 ((((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
105104ralrimiva 3146 . . 3 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → ∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
106 breq2 5147 . . . 4 (𝑤 = ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ (abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1))))
107106rspceaimv 3628 . . 3 ((((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < ((𝑅 / (𝑀 + 1)) / (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) + 1)) → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
10829, 105, 107syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑘)) < (𝑅 / (𝑀 + 1)))) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
10912, 108rexlimddv 3161 1 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722  ballcbl 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359
This theorem is referenced by:  abelthlem9  26484
  Copyright terms: Public domain W3C validator