MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  creui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem creui 12229
Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creui (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด

Proof of Theorem creui
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11233 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
2 simpr 484 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
3 eqcom 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
4 cru 12226 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
54ancoms 458 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
63, 5bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
76anass1rs 654 . . . . . . . 8 ((((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
87rexbidva 3171 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
9 biidd 262 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
109ceqsrexv 3639 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
128, 11bitrd 279 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1312ralrimiva 3141 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
14 reu6i 3721 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
152, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
16 eqeq1 2731 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1716rexbidv 3173 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1817reubidv 3389 . . . 4 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1915, 18syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2019rexlimivv 3194 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
211, 20syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  โˆƒ!wreu 3369  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  ici 11132   + caddc 11133   ยท cmul 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator