Theorem creui 12296

Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
creui	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creui

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
3		eqcom 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4		cru 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
5	4	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
6	3, 5	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
7	6	anass1rs 668	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
8	7	rexbidva 3185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
9		biidd 265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑤 ↔ 𝑦 = 𝑤))
10	9	ceqsrexv 3609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
12	8, 11	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
13	12	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
14		reu6i 3686	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
15	2, 13, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16		eqeq1 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
17	16	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
18	17	reubidv 3382	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	15, 18	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	rexlimivv 3205	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
21	1, 20	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by: (None)