Theorem creui 12154

Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
creui	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creui

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
3		eqcom 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4		cru 12151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
5	4	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
6	3, 5	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
7	6	anass1rs 656	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
8	7	rexbidva 3159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
9		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑤 ↔ 𝑦 = 𝑤))
10	9	ceqsrexv 3597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
11	10	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
12	8, 11	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
13	12	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
14		reu6i 3674	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
15	2, 13, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
17	16	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
18	17	reubidv 3358	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	15, 18	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	rexlimivv 3179	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
21	1, 20	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3340  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by: (None)