MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  creui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem creui 12206
Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creui (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด

Proof of Theorem creui
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11210 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
2 simpr 485 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
3 eqcom 2739 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
4 cru 12203 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
54ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
63, 5bitrid 282 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
76anass1rs 653 . . . . . . . 8 ((((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
87rexbidva 3176 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
9 biidd 261 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
109ceqsrexv 3643 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
128, 11bitrd 278 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1312ralrimiva 3146 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
14 reu6i 3724 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
152, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
16 eqeq1 2736 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1716rexbidv 3178 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1817reubidv 3394 . . . 4 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1915, 18syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2019rexlimivv 3199 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
211, 20syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3374  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator