MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  creui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem creui 12156
Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creui (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด

Proof of Theorem creui
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11160 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
2 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
3 eqcom 2740 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
4 cru 12153 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
54ancoms 460 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
63, 5bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
76anass1rs 654 . . . . . . . 8 ((((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
87rexbidva 3170 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค)))
9 biidd 262 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ค โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
109ceqsrexv 3609 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
128, 11bitrd 279 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
1312ralrimiva 3140 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค))
14 reu6i 3690 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
152, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
16 eqeq1 2737 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1716rexbidv 3172 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1817reubidv 3370 . . . 4 (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1915, 18syl5ibrcom 247 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2019rexlimivv 3193 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
211, 20syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator