Theorem dfac12 10133

Description: The axiom of choice holds iff every aleph has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 (ℵ‘𝑥) ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac12a 10132	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦 ∈ On 𝒫 𝑦 ∈ dom card)
2		dfac12k 10131	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ On 𝒫 𝑦 ∈ dom card ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 (ℵ‘𝑥) ∈ dom card)
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 (ℵ‘𝑥) ∈ dom card)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  𝒫 cpw 4567  dom cdm 5662  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  cardccrd 9921  ℵcale 9922  CHOICEwac 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9472  df-har 9519  df-r1 9736  df-rank 9737  df-card 9925  df-aleph 9926  df-ac 10100

This theorem is referenced by:  gch2  10660