Theorem dfac12 9933

Description: The axiom of choice holds iff every aleph has a well-orderable powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac12	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 (ℵ‘𝑥) ∈ dom card)

Proof of Theorem dfac12

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac12a 9932	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦 ∈ On 𝒫 𝑦 ∈ dom card)
2		dfac12k 9931	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ On 𝒫 𝑦 ∈ dom card ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 (ℵ‘𝑥) ∈ dom card)
3	1, 2	bitri 274	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 ∈ On 𝒫 (ℵ‘𝑥) ∈ dom card)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059  𝒫 cpw 4536  dom cdm 5591  Oncon0 6270  ‘cfv 6447  cardccrd 9721  ℵcale 9722  CHOICEwac 9899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-reg 9379  ax-inf2 9427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-oadd 8321  df-omul 8322  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-oi 9297  df-har 9344  df-r1 9550  df-rank 9551  df-card 9725  df-aleph 9726  df-ac 9900

This theorem is referenced by:  gch2  10459