Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord3 40640
Description: The isomorphism H for a lattice 𝐾 is order-preserving in the region under co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihord3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihord3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihord3.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihord3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))

Proof of Theorem dihord3
StepHypRef Expression
1 dihord3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihord3.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dihord3.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dihord3.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . . 5 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5dihvalb 40620 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
763adant3 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
81, 2, 3, 4, 5dihvalb 40620 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
983adant2 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
107, 9sseq12d 4010 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)))
111, 2, 3, 5dibord 40542 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
1210, 11bitrd 279 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  lecple 17210  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DIsoBcdib 40521  DIsoHcdih 40611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-disoa 40412  df-dib 40522  df-dih 40612
This theorem is referenced by:  dihord  40647
  Copyright terms: Public domain W3C validator