Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord3 40762
Description: The isomorphism H for a lattice 𝐾 is order-preserving in the region under co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihord3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihord3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihord3.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihord3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))

Proof of Theorem dihord3
StepHypRef Expression
1 dihord3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihord3.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dihord3.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dihord3.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2728 . . . . 5 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5dihvalb 40742 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
763adant3 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹))
81, 2, 3, 4, 5dihvalb 40742 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
983adant2 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
107, 9sseq12d 4015 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)))
111, 2, 3, 5dibord 40664 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
1210, 11bitrd 278 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DIsoBcdib 40643  DIsoHcdih 40733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-disoa 40534  df-dib 40644  df-dih 40734
This theorem is referenced by:  dihord  40769
  Copyright terms: Public domain W3C validator