Theorem dihord3 42454

Description: The isomorphism H for a lattice 𝐾 is order-preserving in the region under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihord3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihord3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihord3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))

Proof of Theorem dihord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihord3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihord3.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihord3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihord3.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihvalb 42434	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
7	6	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋))
8	1, 2, 3, 4, 5	dihvalb 42434	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑌) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))
9	8	3adant2 1149	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑌) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))
10	7, 9	sseq12d 3945	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)))
11	1, 2, 3, 5	dibord 42356	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
12	10, 11	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  lecple 17447  HLchlt 40547  LHypclh 41181  DIsoBcdib 42335  DIsoHcdih 42425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-undef 8301  df-map 8860  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356  df-disoa 42226  df-dib 42336  df-dih 42426

This theorem is used by:  dihord  42461