Theorem dihord 41988

Description: The isomorphism H is order-preserving. Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 6. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihord.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihord	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))

Proof of Theorem dihord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 782	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
4		simpl3 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simprr 784	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
6		dihord.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		dihord.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		dihord.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihord.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10	6, 7, 8, 9	dihord3 41981	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	syl122anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
12		simpl1 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simpl2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		simprl 782	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
15		simpl3 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		simprr 784	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)
17	6, 7, 8, 9	dihord5a 41987	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
18	6, 7, 8, 9	dihord5b 41983	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌))
19	17, 18	impbida 812	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
20	12, 13, 14, 15, 16, 19	syl122anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
21		simpl1 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		simpl2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		simprl 782	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)
24		simpl3 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25		simprr 784	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
26	6, 7, 8, 9	dihord6a 41985	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
27	6, 7, 8, 9	dihord6b 41984	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌))
28	26, 27	impbida 812	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
29	21, 22, 23, 24, 25, 28	syl122anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
30		simpl1 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31		simpl2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32		simprl 782	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)
33		simpl3 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		simprr 784	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)
35	6, 7, 8, 9	dihord4 41982	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	syl122anc 1404	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
37	11, 20, 29, 36	4casesdan 1055	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  lecple 17320  HLchlt 40074  LHypclh 40708  DIsoHcdih 41952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-riotaBAD 39677

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17497  df-proset 18353  df-poset 18372  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18491  df-clat 18558  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-dvr 20486  df-drng 20818  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lvec 21207  df-oposet 39900  df-ol 39902  df-oml 39903  df-covers 39990  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075  df-llines 40222  df-lplanes 40223  df-lvols 40224  df-lines 40225  df-psubsp 40227  df-pmap 40228  df-padd 40520  df-lhyp 40712  df-laut 40713  df-ldil 40828  df-ltrn 40829  df-trl 40883  df-tendo 41479  df-edring 41481  df-disoa 41753  df-dvech 41803  df-dib 41863  df-dic 41897  df-dih 41953

This theorem is referenced by:  dih11  41989  dihcnvord  41998  dihmeetlem1N  42014  dihglblem5apreN  42015  dihglblem5aN  42016  dihglblem4  42021  dihmeetlem9N  42039  dihmeetlem11N  42041  dihlspsnat  42057  dihglblem6  42064  dochvalr  42081  dochss  42089  dvh4dimat  42162