MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrsr 11088
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrsr (๐ด ยทR (๐ต +R ๐ถ)) = ((๐ด ยทR ๐ต) +R (๐ด ยทR ๐ถ))

Proof of Theorem distrsr
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 11053 . . 3 R = ((P ร— P) / ~R )
2 addsrpr 11072 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R +R [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~R ) = [โŸจ(๐‘ง +P ๐‘ฃ), (๐‘ค +P ๐‘ข)โŸฉ] ~R )
3 mulsrpr 11073 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ(๐‘ง +P ๐‘ฃ), (๐‘ค +P ๐‘ข)โŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข))), ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)))โŸฉ] ~R )
4 mulsrpr 11073 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R )
5 mulsrpr 11073 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))โŸฉ] ~R )
6 addsrpr 11072 . . 3 (((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P) โˆง (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R +R [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))โŸฉ] ~R ) = [โŸจ(((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))), (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))โŸฉ] ~R )
7 addclpr 11015 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P)
8 addclpr 11015 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P)
97, 8anim12i 611 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โˆง (๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P))
109an4s 656 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P))
11 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
12 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
13 addclpr 11015 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
1411, 12, 13syl2an 594 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
1514an4s 656 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
16 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
17 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
18 addclpr 11015 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
1916, 17, 18syl2an 594 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
2019an42s 657 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
2115, 20jca 510 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P))
22 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
23 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
24 addclpr 11015 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
2522, 23, 24syl2an 594 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
2625an4s 656 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
27 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
28 mulclpr 11017 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
29 addclpr 11015 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
3027, 28, 29syl2an 594 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
3130an42s 657 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
3226, 31jca 510 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P))
33 distrpr 11025 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ))
34 distrpr 11025 . . . . 5 (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))
3533, 34oveq12i 7423 . . . 4 ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
36 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ V
37 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ V
38 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ V
39 addcompr 11018 . . . . 5 (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“)
40 addasspr 11019 . . . . 5 ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž))
41 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ V
4236, 37, 38, 39, 40, 41caov4 7640 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
4335, 42eqtri 2758 . . 3 ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
44 distrpr 11025 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข))
45 distrpr 11025 . . . . 5 (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))
4644, 45oveq12i 7423 . . . 4 ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))
47 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ V
48 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ V
49 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ V
50 ovex 7444 . . . . 5 (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ V
5147, 48, 49, 39, 40, 50caov4 7640 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))
5246, 51eqtri 2758 . . 3 ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))
531, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 21, 32, 43, 52ecovdi 8821 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR (๐ต +R ๐ถ)) = ((๐ด ยทR ๐ต) +R (๐ด ยทR ๐ถ)))
54 dmaddsr 11082 . . 3 dom +R = (R ร— R)
55 0nsr 11076 . . 3 ยฌ โˆ… โˆˆ R
56 dmmulsr 11083 . . 3 dom ยทR = (R ร— R)
5754, 55, 56ndmovdistr 7598 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR (๐ต +R ๐ถ)) = ((๐ด ยทR ๐ต) +R (๐ด ยทR ๐ถ)))
5853, 57pm2.61i 182 1 (๐ด ยทR (๐ต +R ๐ถ)) = ((๐ด ยทR ๐ต) +R (๐ด ยทR ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7411  Pcnp 10856   +P cpp 10858   ยทP cmp 10859   ~R cer 10861  Rcnr 10862   +R cplr 10866   ยทR cmr 10867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980  df-mp 10981  df-ltp 10982  df-enr 11052  df-nr 11053  df-plr 11054  df-mr 11055
This theorem is referenced by:  pn0sr  11098  axmulass  11154  axdistr  11155
  Copyright terms: Public domain W3C validator