MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt1p 16063
Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 12987 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 nn0uz 12865 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
3 0nn0 12488 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
5 1e0p1 12720 . . . 4 1 = (0 + 1)
6 0z 12570 . . . . 5 0 ∈ ℤ
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
87eftval 16024 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
93, 8ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
10 eft0val 16060 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
119, 10eqtrid 2778 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
126, 11seq1i 13983 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
13 1nn0 12489 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
147eftval 16024 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
16 fac1 14240 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1716oveq2i 7415 . . . . . 6 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
18 exp1 14036 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1918oveq1d 7419 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
20 div1 11904 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
2119, 20eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
2217, 21eqtrid 2778 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
2315, 22eqtrid 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
242, 4, 5, 12, 23seqp1d 13986 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
251, 24syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
26 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
2713a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
287, 26, 27effsumlt 16059 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
2925, 28eqbrtrrd 5165 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6536  (class class class)co 7404  cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   / cdiv 11872  0cn0 12473  +crp 12977  seqcseq 13969  cexp 14030  !cfa 14236  expce 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015
This theorem is referenced by:  efgt1  16064  reeff1olem  26334  logdivlti  26505  logdifbnd  26877  emcllem4  26882  harmonicbnd4  26894
  Copyright terms: Public domain W3C validator