Theorem efgt1p 15924

Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12842	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0uz 12722	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3		0nn0 12350	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
5		1e0p1 12581	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
6		0z 12432	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8	7	eftval 15886	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
10		eft0val 15921	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
11	9, 10	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
12	6, 11	seq1i 13837	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
13		1nn0 12351	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	7	eftval 15886	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
16		fac1 14093	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
17	16	oveq2i 7349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
18		exp1 13890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
20		div1 11766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
21	19, 20	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
22	17, 21	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
23	15, 22	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
24	2, 4, 5, 12, 23	seqp1d 13840	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
25	1, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
26		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
27	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
28	7, 26, 27	effsumlt 15920	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
29	25, 28	eqbrtrrd 5117	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ℂcc 10971  0cc0 10973  1c1 10974   + caddc 10976   < clt 11111   / cdiv 11734  ℕ₀cn0 12335  ℝ⁺crp 12832  seqcseq 13823  ↑cexp 13884  !cfa 14089  expce 15871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-pm 8690  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-ico 13187  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-seq 13824  df-exp 13885  df-fac 14090  df-hash 14147  df-shft 14878  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-ef 15877

This theorem is referenced by:  efgt1  15925  reeff1olem  25712  logdivlti  25882  logdifbnd  26250  emcllem4  26255  harmonicbnd4  26267