MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt1p 15301
Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 12249 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 nn0uz 12129 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
3 0nn0 11760 . . . 4 0 ∈ ℕ0
4 1e0p1 11989 . . . 4 1 = (0 + 1)
5 0z 11840 . . . . 5 0 ∈ ℤ
6 eqid 2795 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
76eftval 15263 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
83, 7ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
9 eft0val 15298 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
108, 9syl5eq 2843 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
115, 10seq1i 13233 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
12 1nn0 11761 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
136eftval 15263 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
15 fac1 13487 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1615oveq2i 7027 . . . . . 6 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
17 exp1 13285 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
19 div1 11177 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
2018, 19eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
2116, 20syl5eq 2843 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
2214, 21syl5eq 2843 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
232, 3, 4, 11, 22seqp1i 13236 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
241, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
25 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
2612a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
276, 25, 26effsumlt 15297 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
2824, 27eqbrtrrd 4986 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cmpt 5041  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   < clt 10521   / cdiv 11145  0cn0 11745  +crp 12239  seqcseq 13219  cexp 13279  !cfa 13483  expce 15248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254
This theorem is referenced by:  efgt1  15302  reeff1olem  24717  logdivlti  24884  logdifbnd  25253  emcllem4  25258  harmonicbnd4  25270
  Copyright terms: Public domain W3C validator