Theorem efgt1p 16149

Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13006	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0uz 12879	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3		0nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
5		1e0p1 12737	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
6		0z 12581	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8	7	eftval 16108	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
10		eft0val 16146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
11	9, 10	eqtrid 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
12	6, 11	seq1i 14030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
13		1nn0 12499	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	7	eftval 16108	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
16		fac1 14292	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
17	16	oveq2i 7409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
18		exp1 14082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
20		div1 11882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
21	19, 20	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
22	17, 21	eqtrid 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
23	15, 22	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
24	2, 4, 5, 12, 23	seqp1d 14033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
25	1, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
26		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
27	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
28	7, 26, 27	effsumlt 16145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
29	25, 28	eqbrtrrd 5126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   / cdiv 11846  ℕ₀cn0 12483  ℝ⁺crp 12995  seqcseq 14016  ↑cexp 14076  !cfa 14288  expce 16093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099

This theorem is referenced by:  efgt1  16150  reeff1olem  26511  logdivlti  26687  logdifbnd  27060  emcllem4  27065  harmonicbnd4  27077