MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt1p2 15456
Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12266 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 11899 . . . 4 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
4 df-2 11686 . . 3 2 = (1 + 1)
5 rpcn 12385 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
6 0nn0 11898 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
8 1e0p1 12126 . . . . 5 1 = (0 + 1)
9 0z 11978 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
10 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1110eftval 15419 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
13 eft0val 15454 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
1412, 13syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
159, 14seq1i 13376 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
1610eftval 15419 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
172, 16ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
18 fac1 13631 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
1918oveq2i 7149 . . . . . . 7 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
20 exp1 13429 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
2120oveq1d 7153 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
22 div1 11314 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
2321, 22eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
2419, 23syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
2517, 24syl5eq 2871 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
261, 7, 8, 15, 25seqp1d 13379 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
275, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
28 2nn0 11900 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
2910eftval 15419 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
3028, 29ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2))
31 fac2 13633 . . . . . 6 (!‘2) = 2
3231oveq2i 7149 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
3330, 32eqtri 2847 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2)
3433a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
351, 3, 4, 27, 34seqp1d 13379 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
36 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
3728a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
3810, 36, 37effsumlt 15453 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
3935, 38eqbrtrrd 5071 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   < clt 10660   / cdiv 11282  2c2 11678  0cn0 11883  +crp 12375  seqcseq 13362  cexp 13423  !cfa 13627  expce 15404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-ico 12730  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-hash 13685  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-ef 15410
This theorem is referenced by:  cxp2limlem  25550  pntpbnd1a  26158
  Copyright terms: Public domain W3C validator