Theorem efgt1p2 16059

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12813	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12436	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
4		df-2 12227	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
5		rpcn 12940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0nn0 12435	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
8		1e0p1 12669	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9		0z 12518	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11	10	eftval 16019	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
13		eft0val 16057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
14	12, 13	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
15	9, 14	seq1i 13958	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
16	10	eftval 16019	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
18		fac1 14220	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
19	18	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
20		exp1 14010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
22		div1 11850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
23	21, 22	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
24	19, 23	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
25	17, 24	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
26	1, 7, 8, 15, 25	seqp1d 13961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
27	5, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
28		2nn0 12437	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
29	10	eftval 16019	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2))
31		fac2 14222	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
32	31	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
33	30, 32	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
35	1, 3, 4, 27, 34	seqp1d 13961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
36		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
37	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
38	10, 36, 37	effsumlt 16056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
39	35, 38	eqbrtrrd 5126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  0cc0 11046  1c1 11047   + caddc 11049   < clt 11186   / cdiv 11813  2c2 12219  ℕ₀cn0 12420  ℝ⁺crp 12929  seqcseq 13944  ↑cexp 14004  !cfa 14216  expce 16004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-ico 13290  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-fac 14217  df-hash 14274  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-ef 16010

This theorem is referenced by:  cxp2limlem  26920  pntpbnd1a  27530