MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt1p2 16091
Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12895 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 12519 . . . 4 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
4 df-2 12306 . . 3 2 = (1 + 1)
5 rpcn 13017 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
6 0nn0 12518 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
8 1e0p1 12750 . . . . 5 1 = (0 + 1)
9 0z 12600 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
10 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1110eftval 16053 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
13 eft0val 16089 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
1412, 13eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
159, 14seq1i 14013 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
1610eftval 16053 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
172, 16ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
18 fac1 14269 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
1918oveq2i 7431 . . . . . . 7 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
20 exp1 14065 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
2120oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
22 div1 11934 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
2321, 22eqtrd 2768 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
2419, 23eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
2517, 24eqtrid 2780 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
261, 7, 8, 15, 25seqp1d 14016 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
275, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
28 2nn0 12520 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
2910eftval 16053 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
3028, 29ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2))
31 fac2 14271 . . . . . 6 (!‘2) = 2
3231oveq2i 7431 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
3330, 32eqtri 2756 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2)
3433a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
351, 3, 4, 27, 34seqp1d 14016 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
36 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
3728a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
3810, 36, 37effsumlt 16088 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
3935, 38eqbrtrrd 5172 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279   / cdiv 11902  2c2 12298  0cn0 12503  +crp 13007  seqcseq 13999  cexp 14059  !cfa 14265  expce 16038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044
This theorem is referenced by:  cxp2limlem  26921  pntpbnd1a  27531
  Copyright terms: Public domain W3C validator