Theorem efgt1p2 16076

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12821	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12448	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
4		df-2 12239	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
5		rpcn 12948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
8		1e0p1 12681	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9		0z 12530	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11	10	eftval 16036	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
13		eft0val 16074	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
14	12, 13	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
15	9, 14	seq1i 13972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
16	10	eftval 16036	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
18		fac1 14234	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
19	18	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
20		exp1 14024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
22		div1 11839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
23	21, 22	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
24	19, 23	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
25	17, 24	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
26	1, 7, 8, 15, 25	seqp1d 13975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
27	5, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
28		2nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
29	10	eftval 16036	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2))
31		fac2 14236	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
32	31	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
33	30, 32	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
35	1, 3, 4, 27, 34	seqp1d 13975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
36		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
37	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
38	10, 36, 37	effsumlt 16073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
39	35, 38	eqbrtrrd 5099	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   / cdiv 11802  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℝ⁺crp 12937  seqcseq 13958  ↑cexp 14018  !cfa 14230  expce 16021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027

This theorem is referenced by:  cxp2limlem  26961  pntpbnd1a  27570