Theorem efgt1p2 16147

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12918	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12540	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
4		df-2 12327	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
5		rpcn 13043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
8		1e0p1 12773	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9		0z 12622	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11	10	eftval 16109	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
13		eft0val 16145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
14	12, 13	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
15	9, 14	seq1i 14053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
16	10	eftval 16109	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1))
18		fac1 14313	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
19	18	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
20		exp1 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
21	20	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
22		div1 11955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
23	21, 22	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
24	19, 23	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
25	17, 24	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
26	1, 7, 8, 15, 25	seqp1d 14056	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
27	5, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
28		2nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
29	10	eftval 16109	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2))
31		fac2 14315	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
32	31	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
33	30, 32	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
35	1, 3, 4, 27, 34	seqp1d 14056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
36		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
37	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
38	10, 36, 37	effsumlt 16144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
39	35, 38	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   / cdiv 11918  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℝ⁺crp 13032  seqcseq 14039  ↑cexp 14099  !cfa 14309  expce 16094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100

This theorem is referenced by:  cxp2limlem  27034  pntpbnd1a  27644